勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理。

（1）在代数研究上取得的成就

例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。

据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。

公元1世纪，我国数学著作《九章算术》中记载了一种求整勾股数组的法则：任意给定两个正整数m，n(m＞n)，那么(m²-n²)，mn，(m²+n²)这三个正整数就是一个整勾股数组。用代数方法很容易证明这一结论。公元3世纪，我国著名数学家刘徽从几何上也证明了这一结论。

不难证明，如果上述m，n(m＞n)，是互质的奇数，那么用《九章算术》中的法则可以求出所有两两互质的整勾股数组。这也是我们中国古代数学家的一项杰出成就。

有趣的是：除了三元二次方程x² + y² =z²（其中x、y、z都是未知数）有正整数解以外，其他的三元n次方程xⁿ + yⁿ =zⁿ（n为已知正整数，且n＞2）都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理（费尔马是17世纪法国数学家）。

太阳距离我们有多远呢？这对于近代人来说，是一个常识性的问题；但对古代人而言，它却是个谜。为了解开这个谜，古代科学家进行了一次又一次探测。

据公元前一世纪成书的《周髀算经》记载，我国古代杰出的数学家陈子（公元前6-7世纪）对太阳的高和远进行了测量，这就是人们所乐于称道的“陈子测日”。他的测量方法原理如图所示。

其中，S表示太阳，I表示日下点，AC和DF均表示髀，即测量用的标杆。C、F、I在同一直线上。b是髀竖立在F处的影长，A+b是髀竖立在C处的影长。髀长h是已知的，A、b、d均可实际量出。

由 △SHD∽△ACG, △SDA∽△AGB，有

于是，便可求出太阳S到日下点I的距离，即日高SI；并且，还可求出髀DF到太阳日下点I的距离FI。

但是，由于陈子受当时科学水平的限制，误把椭球形的地球当作平面。所以，求出的日高与实际距离相差很远。然而，他的测日法所反映的数学及测量水平却是在世界上遥遥领先的，而且他的测量方法（后来叫做重差术）至今仍被使用着。所以，人们称陈子为测量学之祖，毫不为过。

　 求得了日高及髀到日下点的距离之后，髀到太阳的距离即日远，陈子是怎样计算的呢？据《周髀算经》记载，有一次荣方和陈子问答，陈子说：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并开方而除之，得邪至日者。”（古汉语“邪”也作“斜”解）就是说，将勾、股各平方后相加，再开方，就得到弦长（图2）。陈子的这段话，不仅解决了日远的计算问题，而且还最早表述了勾股定理。这充分证明，我国至迟在陈子所处年代，已经发现并运用了勾股定理。

由此可见，你是否想到过，我们的祖先发现勾股定理，不是一蹴而就，而是经历了漫长的岁月，走过了一个由特殊到一般的过程。

（2）宇宙探索

几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了勾股定理。科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？现在已被基本否定，可是人类并没有打消与地球以外生物取得联系的努力,怎样跟他们联系呢？用文字和语言他们都不一定能懂。因此，我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形。两千年前发现的勾股定理，现在在探索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用。

看来，勾股定理不仅仅是数学问题，不仅仅是反映直角三角形三边关系，她已成为人类文明的象征，她已成为人类智慧的标志！她是人们文化素养中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是现代文明人！