半周心记趣

《青少年数学》1991年第1期

   我们已经知道三角形的重心、内心、外心、垂心、旁心和费马点等特殊点了，这里再介绍一个特殊点：半周心。

已知D，E，F分别是△ABC以A，B，C为顶点的半周点（即AB+BD=AC+CD=周长L的一半，BC+CE=BA+AE=1/2 L，CA+AF=CB+BF=1/2 L），

求证AD、BE、CF共点（设为O点，我们称O为△ABC的半周心）

证明∵AB+BD=AB+AE=1/2 L，∴BD=AE.

同理：CD=AF,BF=CE.

因此，AF/BF BD/CD CE/AE=1.

据塞瓦定理AD、CF、BE交于一点，即图中O点.（证毕）

有趣的是，半周心、重心、内心还会共线.这样，在一个三角形内，半周心、重心、内心所共的线与欧拉线，就把重心、内心、垂心、外心、半周心用两条线联系起来了，它们的交点就是重心.请同学们自己作图看看。

编者注：垂心、重心、外心共线（还有九点圆的圆心亦在这条直线上），这条直线称为欧拉线.