至此，康托已提出了一个比较基数大小的方法。请读者注意，这个定义的直接结果是一个在直觉上十分明显的事实，即，如果A是B的子集，　

　　匹配，在集合A的所有元素与集合B的某一子集之间建立起一一对应的关系。所以，一个集合的基数大于或等于其任何子集的基数。在一系列违背直觉的命题中，这一命题似乎还算令人安心。

　　康托在比较基数大小的基础上，又提出了一个非常重要，而且，据他认为，是一个非常关键的论断：

　　如果我们只限于有限基数，这一论断看来非常明确。但是，如果我们将其应用于超限基数，就显得不那么明确了。让我们仔细想一想康托提出的问题：如果在A集的全部与B集的部分之间存在着一一对应关系（即，

里才能找到这最后的对应关系呢？稍加思考，我们会发现这个论断的确具有深远的意义。

　　乔治·康托虽然从未能对这一命题作出令人满意的证明（足以说明其复杂性），但却仍然认为这个命题是正确的，也许这恰恰表明了他对他的集合论的“合理性”始终抱有坚定的信念。幸运的是，这一定理由两位数学家——恩斯特·施罗德（于1896年）和费利克斯·伯恩斯坦（于1898年）各自独立地作出了证明。由于这个定理是由几个人共同创立的，所以，我们今天称之为“施罗德-伯恩斯坦定理”，但有时也称作“康托-伯恩斯坦定理”或“康托-施罗德-伯恩斯坦定理”，或把这些名字按其他方式排列。我们暂且抛开这些名称不谈，这一定理对于研究超限基数，是一个十分有用的工具。

　　首先，无理数集是实数集的一个子集，根据前一章的评述，我们知道，　

　　也就是说，我们在第一位小数后面插入一个0，在第二位小数后面插入两个1，在第三位小数后面插入三个0，等等，依此类推。例如，对应于实数x=18.1234567……的是

　　y=18.1021130004111150000061111117……

　　而与实数x=－7.25=－7.25000……相对应的则是

　　y=－7.205110000011110000000111111……

　　无论我们选用什么数值的实数x，与之相对应的y都有一个既不终止，也不循环的小数展开式，因为我们在这个小数展开式中得到越来越长的连续0或连续1的数组。因此，每一个实数x都与一个无理数y相对应。

　　并且，这种对应是一一对应的。因为，如果我们已知一个y值，比如5.304114000711111000002……，我们就能够从中“分解”出一个，并且，只有一个可能与之对应的x值，就本例而言，x=5.344712……。我们应该注意到，并不是每一个无理数最终都能够与一个实数对应。如，无理数y=

与任何实数x相对应。

　以断定，无理数集的基数是c，与全部实数集的基数相同。

　　由康托提出，并由施罗德和伯恩斯坦证明的这个定理，使超限基数这一大难题成功地得到了解决，但是，康托的奇妙问题层出不穷。另一个问题是，是否存在任何大于c的基数。根据以前的对应关系，康托感到这个问题的答案应该是肯定的，并觉得他知道如何得到一个更充分的点集。

　　康托认为，发现一个大于一维区间(0,1)基数的关键是要在一个由x轴上的区间(0,1)与y轴上的区间(0,1)所构成的二维正方形中去寻觅，如图12.1所示。康托在1874年1月写给朋友理查德·狄德金的信中问道，区间和正方形这两个点的集合是否能够构成一一对应的关系？他近于肯定地认为，在二维正方形与一维线段之间不可能存在这种对应关系，因为前者似乎显然具有更多的点。虽然作出证明可能十分困难，但康托却认为作证明也许是“多余”的。

　　然而，有趣的是，这一几乎多余的证明却从未能够作出。康托尽管尽了最大努力，但始终未能证明在区间与正方形之间不可能存在一一对应的关系。后来，1877年，他发现他原来的直觉是完全错误的。这种一一对应的关系确实存在！

　　为了证明这一令人吃惊的事实，我们令S表示由全部有序偶(x,y)构成的正方形，在这里，0＜x＜1，0＜y＜1。我们只要简单地将区间(0,1)　

全部与单位正方形S中部分之间的一一对应关系。根据我们前面的定义，

　　我们采用这一约定，并根据以下定义，将S中的每一个点(x,y)与(0,1)中的点z相对应：

　　例如，按上面规律对x和y的小数位重新组合，就可以使单位正方形

单位区间中唯一的一个点0.1780178110861788……相对应。没有比这再简单的了。同样，如果已知区间中的一点对应于S中的某一点，我们可以通过分解小数位的方法，使之回到唯一的有序数偶。也就是说，如果z=0.93440125……，那么，在正方形中一定有由它规定的唯一的一对有序实数

　　(x,y)=(0.9402……,0.3415……)

　　我们注意到，根据这种对应关系，并非单位区间中的每一个点都能够

……可以分解为有序偶（0.19999……，0.0000……）。但是，我们已完全排除了应用0.1999……，而代之以与其等价的小数0.2000……；更糟糕的是，第二个坐标0.0000……=0，严格地说，并不位于0与1之间，

　9090……不对应于正方形内的任何一点。

　　然而，我们毕竟在S的全部点与(0,1)的部分点之间构成了一一对应　

　　这一讨论表明，尽管维数不同，但正方形中的点并不比区间内的点多。这两个集合都有基数c。至少可以说，这个结果是十分令人吃惊的。康托在1877年写给狄德金的信中报告了这一发现，并惊呼，“我发现了它，但简直不敢相信！”

　　那么，我们到哪里去找大于c的超限基数呢？康托可以很容易地证明，一个比较大的正方形，甚至整个平面中的全部点，都具有与单位区间(0,1)相同的基数。即使在三维立方体中，也没有发现更大的基数。这样看来，c似乎是最高一级的超限基数。

　　但是，事实却证明并非如此。1891年，康托成功地证明了更高一级超限基数的存在，而且，是令人难以置信地大量存在。他的研究结果，我们今天通常称之为康托定理。如果说他一生中证明了许多重要定理，那么，这个定理的名称就表明了它所得到的高度评价。这个定理像集合论的任何定理一样辉煌。

　　为了讨论这一证明，我们需要引入另一个概念：

　　□定义： 设有集合A，A的所有子集的集合称为A的幂集，

　　记作P[A]。　

　　这个定义看来非常简单。例如，如果A=｛a，b，c｝，那么，A有

　　8个子集，因而，A的幂集就是包含这8个子集的集合，即：

　　P[A]=｛｛｝,｛a｝,｛b｝,｛c｝,｛a,b｝,｛a,c｝,｛b,c｝,｛a,b,c｝｝

　　请读者注意，空集｛｝和集合A本身是A的幂集的两个元素；无论我们采用什么样的集合A，这都是正确的。我们还应注意，幂集本身也是一个集合。这一基本事实有时容易被忽视，但在康托的思想中，这个事实却有着重要意义。

　　但是，如果A是一个无穷集，又将如何？无穷集的幂集其基数是否同样大于集合本身的基数呢？康托定理回答了这一引起争论的问题：

证明 为证明这一定理，我们必须依据本章前面所介绍的康托关于超限基数之间严格不等式的定义。显然，我们可以很容易地发现在A与部分P[A]之间存在着的一一对应关系，因为如果A=｛a,b,c,d,e,……｝，我们就可以使元素a对应于子集｛a｝，使元素b对应于子集｛b｝，等等。当然，这些子集｛a｝,｛b｝,｛c｝……仅仅是A的全部子集中微不足

　　到此为止，一切都很简单。但还有必要证明A与P[A]没有相同的基数。我们采用间接证明的方法，首先假定它们的基数相同，然后从中导出逻辑矛盾。即，我们假设在A的全部与P[A]的全部之间存在着一一对应关系。为便于论证，我们将采用一个与这一假定一致的例子，以备后面参照：

　　于是，这个排列表示在A的全部元素与P[A]的全部元素之间存在着假定的一一对应关系。请注意，在这种对应关系中，A的某些元素属于它们所对应的子集；例如，c是与之相对应的集合｛a,b,c,d｝的元素。而另一方面，A的某些元素则不属于它们所对应的子集；例如，a就不是其对应子集｛b,c｝的元素。

　　令人不可思议的是，这种将互不相容的东西一分为二的做法提供了导致本证明逻辑矛盾的线索，因为我们现在可以对集合B作出如下定义：

　　B是原集合A中每一个不属于它所对应的子集的元素的集合。

　　参照上述假设的对应关系，我们看到，a以及b（因为b不是｛d｝的元素）、d（d当然不属于空集）和 g（不是｛h,I,j,……｝的元素）都属于集合B。但是，c、e和f就不是集合B的元素，因为它们分别属于｛a,b,c,d｝、A本身和｛a,c,f,g……｝。

　　因此，集合B=｛a,b,d,g,……｝。这样构造的B是原集合A的子集。所以B属于A的幂集，因而必然会出现在上述对应关系右边一列的某个位置。但是，按最初假定的一一对应关系，我们同样断定在左边一列一定有A的某一元素y对应于B：

　　到目前为止，一切顺利。但是现在我们提出一个致命的问题：“y是B的元素吗？”当然，有两种可能：

第一种情况 假设y不是B的元素。

　　那么根据我们最初对B所下的定义，“……原集合A中每一个不属于它所对应的子集的元素的集合”，我们看到，y理所当然是B的成员，因为在这种情况下，y不是它所对应的集合的元素。

　　换句话说，如果我们首先假定y不属于B，那么，我们就被迫得出结论，y应当是B的元素。显然这是自相矛盾的，所以我们排除第一种情况，因为这是不可能的。

第二种情况 假设y是B的元素。

　　我们再次求助于B的定义。因为第二种情况假定y属于B，那么，y应当符合B的定义；即y不是它所对应的集合的元素。太遗憾了！与y对应的集合恰恰是B，因此，y不可能是集合B的元素。

　　这样，由于第二种情况假定y属于B，我们不得不直接得出结论，y不是B的元素。作为逻辑结构，我们再次走进了死胡同。

　　一定是什么地方出了毛病。第一种情况与第二种情况是仅有的两种可能，但这两种可能都导致了逻辑矛盾。我们断定，在论证中的某个地方一定有一个假设是错误的。当然，问题正是开始时我们所假定的在A与P[A]之间存在着一一对应关系。我们的悖论显然摧毁了这一假设：不可能存在这种对应关系。

　　也许，用一个有限集作为具体例子，我们可以清楚地看到康托的天才。令A=｛a,b,c,d,e｝，并在集合A的元素与其幂集的某些成员之间建立对应关系：　

　　回忆一下B的定义，即，集合A中那些不属于它所对应的集合的元素，我们看到，B=｛c,e｝。

　　康托注意到问题的关键是，B不可能出现在上述对应关系的右列，因为逻辑证明，不存在可能与之对应的元素。对于A与P[A]之间任何假设的对应，康托的证明令人击节称赞之处在于他巧妙地描述了A的幂集不可能的一个成员（也就是B）对应于A的某一元素。这就直接否定了任何一个集合与其幂集之间存在着一一对应关系的可能。

　　我们有必要停下来思考一下康托定理更深一层的含义。康托证明，无论我们最初采用什么样的集合，其幂集严格地说具有更大的基数。用他自己的话说：

　　“……可以用另一集合M置换任何已知集合L，构造一个新的集合，使其基数大于L的基数。”

　　这样，在寻找基数大于c的集合这一长期探索过程中，我们没有着眼于平面中的正方形或三维空间的立方体。而是代之以区间(0,1)内点的所有

更大的超限基数。

　　现在，我们来回忆一个基本事实，按照幂集的定义，它理所当然地也是一个集合。因此，我们可以构造P[(0,1)]的幂集，即构造(0,1)的所有子集的集合的所有子集的集合。尽管P[(0,1)]的确是一个非常惊人的集

　　这个妖怪一旦逃出魔瓶，就再没有什么能够阻止乔治·康托了。因为我们显然能够无限地重复这个过程，并由此生成一个越来越长的不等式链：

　　毫不夸张地讲，这个定理，以及康托所有关于无穷的深奥理论，都引起了反对派不绝于耳的喧嚣。的确，他推动数学进入一片未被开垦的处女地，在那里，数学开始并入哲学和形而上学的王国。值得注意的是，乔治·康托的数学中的形而上学含义并非对他无关紧要。据现代康托的权威传记作家约瑟夫·多邦记载，康托在他的超限理论中发现了一种宗教意义，并认为自己“不仅是上帝的信使，准确地记录、转述和传送新发现的超限数理论，而且，也是上帝的使节”。康托自己写道：

　　“我毫不怀疑超限数的正确性，因为我得到了上帝的帮助，而且，我曾用了二十多年的时间研究各种超限数；每一年，甚至每一天我在这一学科中都有新的发现。”

　　这一段文字表明，宗教在很大程度上已成为康托思想的中心。我们只要回想一下他父母的混合宗教背景，就可以想象出康托家庭中必定不乏各种各样的神学讨论。也许，这更增强了他对神学的兴趣。无论如何，不论是在数学，还是在其他领域，他的思想时时显示出宗教色彩。

　　这种态度使这位神秘的怪人不能见容于他的批评者。康托声称他的数学乃是上帝的信息，无怪那些反对者可以随意攻击他的激进的无穷论。康托不仅迷恋神学，而且热中于证明莎士比亚的剧作乃是由弗朗西斯·培根捉刀，不免更加损害了他的形象。也许，对这一切，他的同事只感到有点儿古怪，而当他声称发现了有关第一位不列颠国王的资料，并且，“只要这些资料一公布，必然会使英国政府感到恐惧”时，许多人就惊得目瞪口呆了。这让人很难不把乔治·康托看作某种狂人。

　　还有他的数学。在他的祖国德国和其他一些地方，都有许多保守分子大叫大喊地反对他的理论，康托与某些很有影响的数学家逐渐交恶。当然，这些反对意见并非都是盲目的反动，因为康托的数学确实提出了一些令人莫名其妙的问题，即使那些善意的数学家也深感困惑。我们在后记中将对这样的一个问题进行讨论。

　　在批评康托的人中，有一位名叫列奥波德·克罗内克（1823—1891年），他是德国数学界很有影响的人物，并固定在颇具声望的柏林大学执教。这所大学曾培养出著名的维尔斯特拉斯和他的出色的学生（包括康托自己在内）。康托在哈雷大学执教，但哈雷大学的声望较之柏林大学，则大为逊色。因此，康托渴望能在柏林大学任职。他对于被“放逐”到二流大学，总有一种强烈的怀才不遇感，并常常把造成这种情况的原因归结为克罗内克的迫害。康托在与其对手间的相互攻忤中，明显地表现出一种妄想狂的倾向。在此过程中，康托既攻击了敌手，也得罪了朋友，也就更难有机会在柏林大学谋职。

　　毫不奇怪，乔治·康托由于生活的失意和对最神秘的无穷概念的拼命钻研，多次受到精神病的折磨。他第一次发病是在1884年，当时他正在狂热地研究一个称为“连续统假设”的猜想，力求对之作出简短的证明。一种流行的看法认为，除了克罗内克及其他人的迫害以外，数学的压力也是造成他精神崩溃的原因。现代对康托医学资料的分析认为这种看法夸大其词，因为有迹象表明，康托表现出一种双相（即狂郁性）精神病的症状，在任何情况下都有可能使他精神崩溃。也就是说，他在受到人身攻击或遇到数学困难时，都有可能发病，但他的疾病似乎还有更为深刻的原因。

　　不管怎样，他的病不断发作，而且，变得日益频繁。1884年，康托经过一段时间的住院治疗之后，虽然情况好转，但仍有复发的可能。他除了在数学与职业方面颇感失意以外，1899年，他的爱子鲁道夫的意外死亡又使他受到了一个沉重的打击。1902年，康托再次住进了哈雷的神经病医院，后来，1904年、1907年和 1911年，又多次住院治疗。然而，他出院后，又周期性地出现抑郁症状，他常常一动不动，静静地坐在家中。

　　康托的一生无疑是困苦的一生。1918年1月6日，他在因精神病发作再次住院期间，不幸逝世。对于一位伟大数学家来说，这真是一个令人悲痛的结局。

　　回顾乔治·康托的生活和工作，人们不禁将他与其同时代的美术大师樊尚·凡高相比。二人颇有一些相似之处。康托的父亲笃信宗教，而凡高的父亲则是一位荷兰牧师。他们两人都深爱艺术，热中文学，并喜欢写诗。我们回想一下，凡高像康托一样，也有一种古怪而反复无常的个性，最后，他甚至疏远了像保罗·高庚这样的朋友。他们对自己的工作都有一种极强烈的献身精神。当然，他们两人也都患有精神疾病，因此住院治疗，而且给他们造成了沉重的思想负担，因为他们时时担心疾病的再次发作。

　　最重要的是，凡高和康托两人都是革命者。凡高在短暂而辉煌的生涯中，使美术超越了印象主义的范畴；同样，康托也推动数学沿着意义深远的新方向发展。无论人们对这位伟大而不幸的数学家如何评说，我们都不禁对他勇敢地以一种崭新的方式探索无穷的性质肃然起敬。

　　康托尽管面对重重困境，却从未对他工作的价值丧失信心。他在谈到争议很大的有关无穷的观点时写道：

　　“我认为是唯一正确的这种观点，只有极少数人赞同。虽然我可能是历史上明确持有这种观点的第一人，但就其全部逻辑结果而言，我确信我将不是最后一人！”

　　的确，他不是最后一人。虽然多少代的数学家都曾探索过古老的几何、代数和数论的问题，但乔治·康托却开创了全新的境界。由于他既提出、又回答了前人不曾想到的问题，所以，将他的理论称之为自古希腊以来第一部真正具有独创性的数学，也许是最恰当不过的了。

后记　

　　我们曾提到过集合论的某些问题，对于这些问题，即使像康托这样的伟大天才，也未能解决。其中最令人困惑的问题来自康托的发现中一些费解的矛盾——逻辑学家称之为“悖论”。也许，其中最简单者即来自康托的定理。

　　如果我们构造一个一切集合的集合，并称之为U（即“泛集”）。这是一个令人难以置信的巨大集合。它包含一切概念集、全部数集、所有数集的子集的集合，等等。在集合U中，我们可以找到每一个存在的集合。在这个意义上说，U不可能再扩大；因为它已经包含了全部可能存在的集合。

　　显然表明P[U]远远大于U本身。这样，在康托集合论的核心出现了灾难性的矛盾。

　　1895年，康托发现了这一悖论；其后几十年间，数学界一直在寻求一种方法，以弥补这一悖论所造成的逻辑缺陷。问题的最终解决看来需要建立集合论的形式公理系统（正如欧几里得建立了几何学的公理系统），通过精心地选择公理，合法地将上述悖论排除在外。从逻辑上说，这并非易事。但是，最后终于将集合论“公理化”，这一新体系谨慎地明确规定了什么是和什么不是“集合”。在这一体系中，“泛集”在任何意义上不再是集合；一切集合的集合就被从集合论公理所规定的集合中予以排除。于是，悖论也就魔术般地消失了。

　　这一解决方法显然是削足适履，即用一个公理，像外科手术一样，精确地切除集合论中使人困惑的部分，而保留康托理论中所有完美的部分。康托的集合论，现在被称为“朴素集合论”，以区别于公理化的集合论。后者尽管非常艰深，并需要专门的知识，但如今已成为集合论的坚实基础。它标志着数学家大卫·希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他曾大声疾呼：“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶走。”

　　但是，还有另外一个问题，康托也未能完美地解决，这一问题至少像悖论的出现那样使他忧心忡忡。实际上，一些人认为，康托对这个问题年复一年地刻苦钻研，也是造成他精神崩溃的重要因素。这个问题现在称为康托的“连续统假设”。

　　康托在他的数学生涯中，用了很多时间来钻研这个问题。1884年，即他的精神病第一次发作的那一年，他作出了一次重大努力。是年8月，康托认为他的努力已获成功，便写信给他的同事古斯塔夫·米塔格-列夫勒，宣称他对这个问题已作出了证明。但是，三个月以后，他在随后的信中不仅收回了他8月份的证明，而且还声称他现在已证明出连续统假设是错误的。这种观点的根本改变仅仅持续了短短的一天，之后，他又再次写信给米塔格-列夫勒，承认他的两个证明都有错误。康托不是一次，而是两次承认他所犯的数学错误，却仍然搞不清他的连续统假设究意是否正确。

　　我们在前一章的后记中曾讲过，如果康托对他的猜测作出了证明，那么，他就能够，比如，很容易地确定超越数的基数。如本章所述，超越数构成了实数的不可数子集，因此，它一定具有基数c只要康托能够证明他的连续统假设，一切都会变得如此简单。

　　然而，他却始终没有成功。尽管他几十年来付出了艰辛的努力，但是，直到逝世，也未能取得任何进展。这也许是他一生中无法摆脱的最大困扰和遭受到的最大挫折。

　　实际上，并非只有乔治·康托一人在探索这个问题的答案。1900年，希耳伯特审视了大量未解决的数学问题，并从中选出23个问题作为对20世纪数学家的重大挑战。在这23个问题中，第一个就是康托的连续统假设，希耳伯特称之为一个“……似乎非常有理的猜想，然而，尽管人们竭尽全力，却没人能够作出证明。”

　　在对集合论这一貌似简单的猜想作出某些突破之前，数学家们还需要殚精竭虑，努力一番。进入1940年，一个重大的突破在20世纪最非凡的数学家库特·哥德尔（1906—1978年）的笔下产生。哥德尔证明连续统假设在逻辑上与集合论公理系统彼此相容。也就是说，不可能用集合论公理系统证明连续统假设不成立。如果康托还活着的话，他一定会对这一发现感到无比的振奋，因为这似乎证明了他的猜想是正确的。

　　果真如此吗？哥德尔的结果无疑并没有证明这一假设。这个问题依然悬而未决。1963年，美国斯坦福大学的数学家保罗·科恩（1934—）证明，我们同样不能用集合论公理系统证明连续统假设成立。综合哥德尔和科恩的工作，连续统假设以一种最奇特的方式得到了解决：这一假设不能用集合论公理系统判定其真伪。

　　这似乎再现了数学史上我们熟悉的一幕。两千多年前，欧几里得引入了平行线公设，随后数代人绞尽脑汁，试图从其他几何公设中推出这一公设。后来我们认识到，这是根本不可能的，因为平行线公设完全独立于其他几何原理；我们不能证明它是对的，也无法证明它是错的。它就像一个离开海岸的孤岛，形单影只地自成体系。

　　那么，康托连续统假设的证明这一悬而未决的问题究竟如何呢？根据20世纪哥德尔和科恩的研究结果，我们看到，康托所面对的不是一项困难的工作，而是一项完全没有希望的工作。这一事实就像是对这位忧虑的数学家一生的一段辛辣写照。

　　然而，乔治·康托的失败丝毫无损于他数学遗产的光辉。1888年，他对自己大胆闯入超限王国作出了评价，我们不妨摘录于此：

　　“我的理论坚如磐石；射向它的每一枝箭都会迅速反弹。我何以得知呢？因为我用了许多年时间，研究了它的各个方面；我还研究了针对无穷数的所有反对意见；最重要的是，因为我曾穷究它的根源，可以说，我探索了一切造物的第一推动力。”