如果说16世纪是数学活动迅速发展的时期，17世纪就是震撼人心的革新和发现时期。17世纪在数学史上称为英雄世纪，因为在这一多产的年代，有众多的知识巨人往来其间。

　　17世纪，科学活动的中心从我们前一章所介绍的天才的意大利代数学家向北转向了法国、德国和英国思想家。当然，造成这种北移的原因是多方面的，除了人的努力外，还有纯粹的机遇问题。但是，对于这种现象，某些学者认为，一个重要的原因是欧洲北部学术气氛比较自由，恰与意大利教会的严厉限制形成了鲜明对照。伽利略的命运就是一个最著名的例子，一个科学家根据科学研究所得出的结论却被17世纪强有势力的罗马天主教宗教机构视为不可接受的洪水猛兽。伽利略遭监禁，被迫否认自己的观点使知识界甚为寒心。整个事件构成了科学史上最不光彩的一页。

　　虽然北方并非一切都很自由和开放，但宗教改革运动的影响却似乎有利于消除对科学研究的种种禁锢，从此才有开普勒、笛卡儿和牛顿脱颖而出。而很有可能，由于教会试图推行僵化的正统观念，意大利才沦为科学上的二等公民。

　　在16世纪与17世纪交汇之际，赢得繁荣发展的不仅仅是数学。1607年，英国殖民詹姆斯敦，同时，欧洲人涌向新大陆。就在英国殖民詹姆斯敦之前几年，伽利略认真而巧妙地研究了落体运动规律，从而永远改变了物理学的性质。英国在詹姆斯敦建立殖民统治后两年，同一个伽利略又将发明不久的“小望远镜”指向天空，开创了现代天文学，同时也开始了他个人的苦难历程。当然，我们还不应忽略艺术的发展，1605年，塞万提斯写出了不朽的名著《堂吉诃德》；1601年，英国剧作家威廉·莎士比亚写出了《哈姆雷特》。

　　当然，文化的新纪元并不是以整整100年为间隔， 16世纪末叶，数学革命的最初迹象便已出现。“英雄世纪”需要英雄，下面，我们将简要介绍其中的一些英雄。

　　D in R-D in E aequabitur A quad

　　尽管如此，但他的确朝着用字母表示方程的方向迈出了重要的一步。后来，又经过了几十年的改进与发展，代数符号体系终于在新的世纪中改革了数学的外观与实质。

　　17世纪初叶，不列颠群岛的两位数学家约翰·纳皮尔（1550—1617年）与亨利·布里格斯（1561—1631年）共同引入、完善和开发了“对数”，这是一个具有重大实际意义和理论意义的概念。对数具有简化诸如乘、除和开方这些繁冗计算的非凡性质，以至此后任何头脑健全的科学家

·拉普拉斯评论说，纳皮尔和布里格斯的对数“通过简化计算，使天文学家的生命延长了一倍”。当然，布里格斯与纳皮尔的合作也是值得称道的，这与后来某些损害数学发展的激烈争吵与妒忌恰恰形成了鲜明的对照。

　　随着时代的发展，三位法国数学家引起了人们的注意。第一位是哲学家兼数学家勒内·笛卡儿（1596—1650年），他 1637年的著作《方法论》成为哲学史上的一座里程碑。这部关于“一般科学”的论著不但预示而且促进了成为时代特征的科学大爆炸。《方法论》中的哲学内容引起了人们的广泛讨论和热烈争辩，而其题为“几何学”的附录部分则最直接地影响了数学的发展。笛卡儿在此第一次将我们今天所谓的解析几何形诸笔墨。如同维埃特的代数符号一样，笛卡儿的解析几何与现代解析几何也相去甚远，但它毕竟宣告了代数与几何的结合，成为其后所有数学著作中不可或缺的内容。

　　在《方法论》问世的时候，布莱兹·帕斯卡（1623—1662年）只是一个14岁的少年，却已出席了法国高级数学家的聚会。他已开始步入其虽然短暂，但却辉煌的数学生涯。帕斯卡是一个聪慧过人的孩子，是我们有时在数学史中见到过的那种神童。他在16岁时所撰写的数学论文就给数学巨匠笛卡儿留下了极深的印象，笛卡儿简直难以相信这篇论文的作者竟是如此年少的孩子。两年后，帕斯卡发明了第一架计算机，这就是我们现代计算机的始祖。并且，帕斯卡还对概率论作出了重大贡献，推动了概率论在一百年前卡尔达诺创立的基础上向前发展。

　　尽管帕斯卡显然具有数学天才，但他成年后的大部分时间却致力于神学研究，他的神学著作至今仍然是人们经常研究的课题。帕斯卡常常从他周围的事物中感觉到种种预兆，他认为在上帝对他的安排中没有包括数学，于是，他便完全放弃了数学。但是，他在35岁的时候，有一次，因牙疼难忍，便去思索数学问题以排遣，而疼痛竟然消失了。他觉得这是上天的启示，随即重操旧业，研究数学。虽然帕斯卡这次对数学的研究还不足一个星期，但他已发现了旋轮类曲线的基本性质（我们将在下一章讨论旋轮类曲线的问题）。此后，帕斯卡再次放弃了数学。1662年，年仅39岁的帕斯卡与世长辞。

　　在三位法国数学家中，也许最值得注意的要数图卢兹的皮埃尔·德·费马（1601—1665年），他统领了17世纪中叶的数学发展。费马在数学的许多领域中都享有盛名，并作出过重大发现。他独立于、甚至早于笛卡尔创立了自己的解析几何，而且，费马的方法在某些方面比他这位同时代的名人更“现代化”。当然，笛卡儿是第一位发表解析几何著作的数学家，并因而获得了崇高的荣誉，但是，费马的工作同样应当受到推崇。并且，帕斯卡与费马在17世纪50年代的书信往来还奠定了我们前面所讲到过的概率论的基础。除此以外，费马还在我们今天称之为微分学的发展上作出过重大贡献。在一些地方，特别是在法国，人们有时认为他是微积分的共同创立者之一，而大部分数学史家虽然承认费马的巨大成就，但却认为这种看法未免失之偏颇。

　　然而，在数论领域，费马留下了他不可磨灭的足迹。我们在欧几里得的《原本》第7篇至第9篇中曾见到过这个论题。有关数论的一部古代名著是丢番图的《算术》（约公元250年？）。在文艺复兴时期，这部著作被重新发现，并翻译成多种文字，证明是一部非常有影响的论文。费马得到了一本丢番图的著作，并深深地沉溺于其中，不久便在有关整数性质方面作出了他自己的惊人发现。

　　费马常常提出一些诱人的命题，有时又宣称已得出了确凿的证明，但又很少将这些证明写下来。因此，后代数学家（时常是欧拉）就不得不去补上这些欠缺的证明。结果，数学史学家在确定荣誉究竟应该归于谁时，常常感到左右为难——归于费马，是他第一个阐述了这些命题，而且也可能作出过证明；或者，应归于欧拉，因为事实上毕竟是他写下了这些论证。

　　“但是，不可能将一个三次方数分解为两个三次方数之和，或将一个四次方数分解为两个四次方数之和。总之，高于二次方的任何次乘幂都不可能分解为两个同样次幂之和；对此，我已发现了极巧妙的证明，但页边空白太小，写不下了。”

　　像往常一样，费马没有留下证明。他把其证明缺漏的原因仅仅归结于丢番图书页空白的狭小。费马似乎在说，只要有一张白纸，他会很高兴为他的发现作出精彩的证明。而实际上，就像他的大部分命题一样，他把寻求证明的重任留给了后人。

　　对于费马的这一论断，后人依然在寻求证明，因为他的论断至今依然未能解决。甚至连曾解开过许多费马“定理”之谜的欧拉，对他这一论断也只证明出n＝3和n＝4。也就是说，欧拉证明，一个三次方数的确不能写成两个三次方数之和，或者，一个四次方数也同样不能分解为两个四次方数之和。但是，就人们普遍称之为“费马大定理”的一般情况而言，问题仍然悬而未决。如同费马没有给出证明的其他许多命题一样，他的这一命题很可能也是正确的。尽管如此，迄今尚无一位数论学家证明这个命题；同样，也没有任何人提出反例，否定这个命题。所以，在这个意义上说，称其为费马的大“定理”，确实有些草率。即使在20世纪末叶，人们对这个问题的兴趣越来越高，如果能有人攻克这道难题，他肯定会在今后的数学史上留下光辉的一页。

　　现在，倘若我们能够回到1661年夏季，检点17世纪的数学遗产，我们将会注意到许多重要事情。代数符号、对数、解析几何、概率和数论——所有这些都已初具规模，而维埃特、纳皮尔、笛卡儿、帕斯卡和费马这些名字将受到应有的尊崇。他们的确是英雄。当然，在1661年夏天，丝毫没有人注意到一个正在悄悄开始的数学旅程，这一旅程很快将使所有这些伟人黯然失色。这一数学旅程开始于美丽的剑桥大学三一学院。1661年夏，来自学院附近乌尔索普的一位少年开始了他的大学生涯。他已经显露出他的才华，而与他一起进入三一学院读书的十几位同学，虽然同样无声无臭，却也同样才华横溢。然而，这位年青人日后将成为英雄世纪的最伟大的英雄，并同时永远改变了人类观察世界的方法。他的名字当然就是艾萨克·牛顿。

　　1642年的圣诞节，一个早产儿危险地降生了，这就是牛顿，他瘦小得简直可以放进“一夸脱容量的杯子”中。而更为不幸的是，他的父亲已于10月初故去，只撇下母亲一人独自抚养这羸弱的婴儿。但是，他却终于绝处逢生，并顺利地度过了林肯郡严寒的冬天，最后，艾萨克竟活到了84岁高龄。

　　身体得到复原，苦难却仍未结束。牛顿三岁的时候，他的母亲汉纳·艾斯库·牛顿嫁给了邻村一个63岁的教长巴纳巴斯·史密斯。史密斯虽然急切地希望娶一个年青的妻子，但却不愿接受一个三岁的孩子。所以，牛顿的母亲再婚之后，小艾萨克就被留下来与他的祖母一起生活。骨肉分离使小牛顿感到万分痛苦。母亲就住在附近，这对他无疑是一种残酷的折磨，因为他只要爬到树上，就可以眺望田野对面村庄中教堂的尖顶，他的母亲和继父就住在那座教堂里。艾萨克从来没见过父亲，现在又失去了母亲，他的痛苦不是由于疾病，而是由于亲情的冷漠。我们将看到，牛顿成人后变得有些神经过敏和愤世嫉俗，因为他很少感受到人类友情的温暖。完全可以认为，他的这种性格是因为遭受亲人遗弃而造成的。

　　艾萨克长大后，进入了一所当时很不错的中学读书，也就是说，它主要是教授拉丁语和希腊语。课下，牛顿很少与人来往，他大部分课余时间都用来读书和制做各种精巧的小器械。传说他曾做过一个由小老鼠在踏车上驱动的小风车；还做过日晷，并将它们放在住处周围的各个主要方位上；他也曾将一个点燃的灯笼系在风筝上，高高放入春天的夜空中，想必曾使平静的英国村民们感到大为恐惧。这些活动显示了一个异常灵巧的年青人的智慧，他可不想只顾埋头于拉丁语复杂的动词变位中。这些活动还预示了一位天才实验物理学家的出现，他的实验小发明对他后来理论的发展具有无可估量的意义。

　　1661年夏，艾萨克·牛顿离开家乡，去剑桥大学三一学院求学。当时，卡姆河畔这座平静的小镇作为高等教育中心已有400年的历史，是一个声誉卓著的古老学府，牛顿在这里有了用武之地。17世纪初叶，随着英格兰清教主义和宗教改革运动的兴起，剑桥大学得到了蓬勃的发展。剑桥大学有许多值得骄傲的事情，从詹姆士王钦定本英文《圣经》、国王学院小教堂的建筑杰作，到清教革命的领袖奥利弗·克伦威尔，他出生于附近的亨廷顿，1617年前就读于西德尼·萨赛克斯学院。

　　但当牛顿进入剑桥大学时，剑桥大学已失去了往昔的荣耀。其原因与英国历史的兴衰变迁密切相关。1642年，也就是牛顿出生的那一年，在克伦威尔领导下的清教徒胜利结束了他们与君主制的长期斗争。克伦威尔亲自主政，1649年，国王查理一世在伦敦白厅被处死后，克伦威尔政府成为不容置疑的权威。其时，清教的剑桥大学正处于鼎盛之际，而保皇党的大本营牛津大学则相形见绌。

　　然而，好景不长。清教徒的共和国并不比被推翻的君主制好多少，也许还更糟。1658年，克伦威尔死后，没有一个清教领导人能够填补这一空缺，英国民情汹汹，要求恢复君主制。因此，1660年，断头国王的儿子查理二世登上王位，这段时期，历史上称作王政复辟时期。无庸赘言，局势发生了根本的变化。剑桥大学自然成了新当权的保皇党怀疑和敌视的目标。王政复辟的第二年，牛顿进入剑桥大学，而这时的剑桥大学充斥着政治阴谋，成了庸才的庇护所，到处死气沉沉，完全不是一个理想的学习场所。

　　我们今天尊崇剑桥大学为少数几个真正的教育中心之一，但我们很难想象17世纪60年代剑桥大学衰败的情形。那时，学校任命教授，完全是出于政治或教会的原因，其中有许多教授，完全与学术无关。据记载，甚至有人50年中竟然没有教过一个学生，没有写过一本书，或没有讲过一次课！实际上，有些教师根本不住在剑桥一带，他们只是偶尔来此一游。

　　教授对学术尚且如此冷漠，学生自然也就不求进取。表面上，剑桥大学维持了学术生活的虚假繁荣，为好学的青年人开设了大量人文科课程。但实际上，剑桥大学的学生更多地热中于到遍布校园的小酒店里开怀畅饮一类事情。学生乃至教授当然可以毫不费力地在剑桥大学中混日子。

　　起初，艾萨克·牛顿慕名而来，对学校寄予了很高的期望。他开始学习规定的拉丁文学和亚里士多德哲学课程，但他逐渐放弃了这类学业，或者是因为他感到老师无能，或者是因为他意识到这些课程的迂腐和无用，也或者只是因为显然没有任何人真正关心他的学习情况。

　　他在三一学院的同学们可能也有同感，他们晚上纷纷跑到小酒店去纵酒狂欢，而牛顿却与众不同。他贪婪地博览群书。人们常常看到他一边散步，一边沉思。当牛顿的注意力被一个想法所吸引时，他能以异于常人的专心，废寝忘食地进行研究，尤其是对一个特别有趣的难题。牛顿初到剑桥大学的时候，还表现出一种老式的负罪感，他有一个笔记本，里面记录了他的各式各样的罪孽，从他不经常祈祷，在教堂做礼拜时漫不经心，到他“不洁的思想、语言、行为和梦境”。诚然，清教主义的思想对他影响很大，但是，人们也会想到，生活的孤独也必定会在很大程度上对一个性格内向的青年人产生深刻的影响。

　　如果一时没有罪孽可以记录，这一永远好奇的学生便忙着对光、颜色和视觉的性质做各种实验。例如，他曾长时间地凝视太阳，然后，详细地记录他视觉中所出现的斑点和闪光，这个实验影响他的视力长达几天之久；实际上，他不得不将自己关在暗室中，让眼中的影象慢慢消退。又有一次，他对眼球的形状如何扭曲和改变形象感到好奇，便以自己为对象设计了一个十分可怕的实验。据牛顿记载，他用一根小棍，或“粗针”，

　　“在我的眼睛与眼骨之间扎，并尽可能地扎到眼球的后部，然后用粗针的顶端压迫眼球……于是便出现了许多白的、黑的和彩色的光环，当我用粗针头继续在眼睛上摩擦的时候，这些光环便显得分外清晰……”

　　牛顿亲手画了一张图来说明这个可怕的实验，他画出了用小棍在他扭曲了的眼球下部和后部摩擦的情形，并用从a到g的字母一一标明。显然，这可不是一位普通的大学生。

　　王政复辟时期的剑桥大学，虽然有种种弊端，但它拥有一个很大的图书馆，对于这个充满好奇心的一流学生来说，这确是一个非常必要的知识宝库。说到书，这里还有一段故事。1663年，牛顿在斯特布里奇集市上碰到一本关于占星术的书。为了弄懂书中的几何图，他决定阅读欧几里得的《原本》。有趣的是，他初次阅读，就发现这本古代教科书中充满了无关紧要和不证自明的定理（顺便说一句，成年后的牛顿抛弃了这种观点）。

　　牛顿读书，有一个特点就是他不满足于只读希腊的经典著作。他还花费了很大气力，阅读笛儿尔的几何学。他后来回忆说，在他开始阅读这部著作的时候，刚刚读过几页，就被完全难住了。然后，他再翻回第1页，重新读一遍，这一次会有所进展，但继续下去又会感到难以理解，这样，他就再翻回来重读。如此循环往复。他就这样，一点儿一点儿地独自啃完了这部《几何学》，没有任何导师或教授帮助。当然，考虑到教师庸庸碌碌，所规定的课程又厚古薄今，他也很难找到任何可以帮助他的人。

　　然而，在剑桥大学教授中，毕竟有一位教授堪当此任，他就是卢卡斯讲座数学教授艾萨克·巴罗（1630—1677年）。虽然在现代意义上，巴罗算不上牛顿的老师，但他无疑曾与这位初露头角的学者有过接触，并曾指导过牛顿阅读当代主要的数学著作。通过不断的阅读与思考，牛顿在普通的科学与数学背景下一跃掌握了当代大部分的新发现。牛顿既已进入前沿，便开始向未开垦的领域进军。

　　1664年，牛顿荣获三一学院奖学金，为他硕士学位的学习赢得了四年的经济资助。他有了更多的自由去探索自己感兴趣的问题。这种自由加上他通过博览群书打下的坚实基础，将解放一个历史上最伟大的天才。从此，牛顿开始着手解决摆在他面前的问题，其精神之专注，简直令人难以置信。20世纪剑桥大学著名的经济学家约翰·梅纳德·凯恩斯曾对牛顿的能力做过如下评价：

　　“他的非凡天才在于他能够长时间地连续思考一个纯智力问题，直至解决……任何研究过纯科学或纯哲学问题的人都知道，一个人只可能短时间地集中思考一个问题，并且，集中全部精力思考，但过不久，注意力就会逐渐分散和转移，你会发现，你的思想成为一片空白。但我相信，牛顿能够连续几小时、几天和几星期地集中思考一个问题，直到解开其中的奥秘为止。”

　　牛顿对他如何解决难题做了同样的说明，只不过更加简洁，就是“通过持续不断的思考”。

　　其后几年，牛顿带着对新发现的极度兴奋，更加勤奋地工作。人们常常看到他在微弱的烛光下一直工作到深夜。据说，他的猫因为常常饱餐牛顿碰也没碰一下的饭菜，竟然长得十分肥胖。这位年轻人认为错过吃饭、耽误睡觉与取得的巨大进展相比，实在是微不足道的。

　　这两年，也许是任何思想家，当然是任何一位23岁的思想家可能有过的最多产的两年。他的成功，一部分是在剑桥大学，还有一部分是在他的家乡乌尔索普取得的，因为爆发了可怕的瘟疫，学校被迫关闭。1665年初，他发现了我们现在所称的“广义二项式定理”，并成为他以后数学著作中的重要部分。不久后，他提出了“流数法”（即我们今天所称的微分学）。1666年，他发明了“逆流数法”（即积分学）。在这期间，他还创造性地提出了他的颜色理论。但据牛顿回忆，他还有更多的发现：

　　“……同一年，我开始思考重力与月球运行轨道的问题……我推算出保持星体绕其轨道运动的引力一定与它们球心距的平方成反比；比较保持月球绕轨道运动的引力与地球表面的重力，发现二者的答案非常接近。”

　　50年后，年迈的牛顿所做的这些回忆准确地阐述了万有引力理论的雏形，这一理论远胜于牛顿其他任何成就，为他赢得了崇高的科学声望。面对这些发现，他以一种非常坦率而冷漠的笔触写道：

　　“所有这些发现都是在1665—1666这两年瘟疫期间做出的。因为这两年是我发现力最盛时期，我对数学和哲学的研究比其它任何时期都要多。”

　　因此，这两年瘟疫期间称为牛顿的“高峰年”，情况确实如此。据说，他所有的理论都是在这段时间内形成、完善和成熟的。这不免有点儿夸大其辞，因为在这之后的年月里，牛顿仍在继续推敲和改进这些理论。然而，牛顿在这短暂的两年里所表现出来的创造力不仅规定和指导了他自己一生的研究方向，而且在很大程度上规定和指导了科学的未来。

　　今天，人们很容易忘记牛顿做出这些非凡的发现时只是剑桥大学的一个无名之辈。R.S.韦斯特福尔也许是我们今天最出色的牛顿传记作家，他对这一明显的事实做了如下的精彩记载：

　　“（牛顿的成功）已经显示出一代宗师的风范，足以使欧洲所有的数学家由衷地羡慕、妒忌和敬畏。但实际上，欧洲只有一位数学家，即艾萨克·巴罗知道牛顿的存在，据说，1666年，巴罗对牛顿的成就也仅仅略知一二。但牛顿的不为人知，并不影响这一事实，即这位不足24岁的青年人，虽然没有受过正规教育，却已成为欧洲最出色的数学家。真正举足轻重的人物，也就是牛顿自己，非常清楚自己的地位。他曾研究过诸位大师。他知道，他们各自都有其局限性。而他自己，却已远远地超过了他们所有人。”

　　纵观历史，我们已看到，数学的中心不断地从一个地方转移到另一个地方，从毕达哥拉斯学派所在的克罗托内先后转移到柏拉图的雅典学园、亚历山大、巴格达，然后又转移到文艺复兴时期卡尔达诺和费拉里所在的意大利。然而，令人难以相信的是，17世纪60年代中期，数学中心又转移到了三一学院一个学生简朴的房间里，而此后，不论牛顿住在哪里，哪里就是世界的数学中心。

　　对于牛顿非凡的发现，我们在此只能略窥一斑。我们首先介绍牛顿的第一大数学发现——二项式定理。虽然按照欧几里得或阿基米德的概念来说，这不是一条“定理”，因为牛顿没有提供完整的证明。但是，他的见识和直觉足以使他发明出这一恰当而准确的公式，并且，我们将看到，他是如何以一种最奇妙的方式应用这一公式的。

　　1 8 28 56 70 56 28 8 1

　　例如，表值56就等于其上左右两个数字21+35之和。

　　方程右边永远没有终止。应用负指数定义，这一方程就成为
　　　　　　　　　　

　　牛顿将上式交叉相乘并消去同类项，证实

　　　　　　　 　=1-x

　　所以
　　　　　　　　

　　这就证实了
　　　　　　　　

　　与牛顿原推导结果相同。

　　牛顿写道：“用这一定理进行开方运算非常简便。”例如，假设我们

　　　　　　　　　

　　现在，将等式右边的平方根代入前面标有（*）符号的二项展开式中的前6

只取了前6个常数项。如果我们取二项展开式中更多的项，我们就会得到更加精确的近似值。并且，我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根，

特别奇怪的。而真正令人吃惊的是，牛顿的二项式定理精确地告诉我们应该采用哪些分数，而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的，无须任何特殊的见解与机巧。这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法。

　　二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一。另一个前提是牛顿的逆流数，也就是我们今天所说的积分。但是，对逆流数的详尽说明属于微积分问题，超出了本书的范围。然而，我们可以用牛顿的话来阐述其重要定理，并举一两个例子来加以说明。

　　牛顿在1669年中撰著的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了逆流数问题，但这部论著直到1711年才发表。这是牛顿第一次提出逆流数问题，他将他的这部论文交给几个数学同事传阅。比如，我们知道，艾萨克·巴罗就曾看到过这部论文，他在1669年7月20日给他一个熟人的信里写道：“……我的一个朋友…… 在这些问题上很有天分，他曾带给我几篇论文。”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则如下。

　　设任意曲线AD的底边为AB，其垂直纵边为BD，设AB=x，BD=y，并设a、b、c等为已知量，m和n为整数。则：
　　

　　牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则2，“如果y值是由几项之和组成的，那么，其面积也同样等于每一项面积之和。”例如，他写道，

　　那么，牛顿所采用的两个工具就是：二项式定理和求一定曲线下面积的流数法。他运用这两个工具，可以得心应手地解决许多复杂的数学与物理问题，而我们将要看到的是牛顿如何应用这两个工具，使一个古老的问题获得了全新的生命：计算π的近似值。我们在第四章的后记中，追溯了这一著名数字的某些历史，确认了某些学者，如阿基米德、韦达和卢道尔夫·冯瑟伦在计算更精确的π近似值方面所作出的贡献。1670年左右，这个问题引起了艾萨克·牛顿的注意。他运用他奇妙的新方法，对这一古老问题进行研究，并取得了辉煌的成就。

　　牛顿当然精通解析几何的概念，他用解析几何的方法研究π近似值问

示。他知道这个圆的方程是
　　　　　　　　　

　　经化简并求解y得到上半圆方程为
　　　　　　　　　　　

　　（他为什么选择这样一个半圆也许完全是个谜，但其效用在论证结束时自会明了。）

　　因此，半圆的方程可演变为
　　　　　　　　　　

图7.3所示。并作BD垂直于半圆的直径AE。然后，他用两种完全不同的方法，求阴影部分ABD的面积：

1.用流数法求面积（ABD） 我们已经看到，牛顿知道如何求一条

则1和法则2，阴影部分的面积为
　　　　　　　　　
　　

其方程式就会变得极为简单，因为
　　　　　　　　　

　　所以，我们只要应用（**）方程式中的前9项级数，就可以计算出阴影部分（ABD）面积的近似值，得
　　　　　　　　　　　

2.用几何方法求面积（ABD） 牛顿接着用纯几何方法验算阴影部

　　到目前为止，一切顺利。下一步，牛顿要求出楔形或扇形部分ACD的面积。为此，他再次利用△DBC。由于BC的长度恰好是斜边CD的一半，他认为，这就是我们所熟悉的30°-60°-90°直角三角形；特别是，∠BCD是60°角。

　　至此，我们再一次为他深邃的见识所折服，因为如果他在B点以外的其它地方作垂线，那么，在他最需要的时候，就不会恰好形成60°角。现在，已知扇形的角度为60°，也就是说，等于构成半圆的180°角的三分之一，牛顿就可以断定，扇形的面积也等于半圆面积的三分之一。即
　　　　　　　　　　

　　机敏的读者会想起，这一伟大定理是牛顿的π近似值，他们会很着急，不知道这个常数何时和怎样才能进入他的论证。终于，π在牛顿的推理链中出现了，现在只剩下最后一两步，就可以巧妙地计算出他的π近似值。

　　因此，用几何方法求出的阴影部分的面积为
　　　　　　　　

　　我们将牛顿用流数/二项式定理方法所计算出的同一阴影部分面积的近似值与上述结果列为方程，就得到
　　　　　　　　　　　　　　

　　解π，就得到π的近似值：
　　　　　　　　　　

　　牛顿π近似值的惊人之处在于他只用了二项展开式中的前9项，就使其π值精确到7位小数，而且，我们发现，牛顿的π近似值与π的真值相差不足0.000000014。牛顿的π近似值比我们在第四章中所讲到过的韦达或卢道尔夫的惊人的计算又前进了一大步。实际上，应用这一方法，唯一

牛顿的二项式定理就可以很容易地计算出平方根的值。总之，这一结果清楚地表明了他的数学新发现在解决这一古老问题时的显著效能和巨大成功。

　　牛顿的π近似值直接引自他的《流数法和无穷级数》，这篇论文写于1671年，但几十年没有发表。这篇论文发展了他几年前撰著的《分析学》

项展开式中的20项，计算出16位小数的π值。一次，在讲到这一π近似值时，他有几分羞愧地承认，“我真不好意思告诉你我计算到了多少位小数，因为当时我没有其他事情好做。”

　　尽管牛顿感到羞愧，但那些能够细致入微地欣赏数学美的人却会对当时没有其他紧迫问题占据他那智慧的大脑而感到由衷的高兴，因为当时正是“……我创造力的全盛时期，而且对数学和哲学的关心超过其他任何时候。”

　　这些就是牛顿在17世纪60年代中叶瘟疫期间就读于三一学院时所取得的成果。此后的六十余年，这个英格兰小乡村的不幸孩子逐渐名扬天下。本章的结尾部分将介绍他不平凡一生中的其他篇章。

　　1668年，牛顿完成了他硕士学位的学习，并被选为三一学院的研究员。这就意味着他只要庄严宣誓，并保持独身，就可以无限期地保留他的学术职位，并得到额外津贴。不仅如此，第二年，艾萨克·巴罗辞去卢卡斯讲座数学教授的席位，并力荐牛顿接替他担任教授。据说，巴罗去职是因为他承认牛顿在数学上更胜于他，因而不能心安理得地占据教授一席。但实际上，巴罗的去职并非出于高尚动机，他在希腊文和神学方面也是一位出色的学者，当时正在角逐其他领域的更高职位。巴罗辞去卢卡斯讲座教授职位后，不久就担任了御前牧师。尽管如此，巴罗在牛顿担任教授一事中，毕竟起了很大作用。巴罗当然有知人之明，因而，他诚心诚意地推荐牛顿是“……我们学院的一位研究员，……非常年青……但却是一位非凡的天才和大师。”

　　牛顿作为卢卡斯讲座的教授，事情并不多。他既不必教学生，也不必作指导教师，他除了领取丰厚的薪酬，保持道德上的清高之外，主要工作就是定期做数学演讲。如果有人以为学生一定会蜂拥而至，聆听这位伟人的讲座，那么，他们就会感到非常吃惊。不要忘记，牛顿在他那非常狭小的圈子之外尚无名望，而且，当时剑桥大学的学生也不必勤奋向学。一位同时代人曾对牛顿的卢卡斯讲座作过如下记载：

　　“……听他讲座的人很少，而且，能够听懂的人就更少，由于缺少听众，他几乎常常对着墙壁宣讲。”

　　他还说，牛顿的讲座一般持续半个小时，除非一个听众也没有，而在这种情况下，他只在那里呆15分钟。

　　如果说牛顿口才不佳，那么，他的科学研究成果却非常丰硕。他很少交朋友，很少与人来往，在三一学院中成了一个离群索居而有几分奇特的人物。一位多年的同事回忆说，他只看到牛顿笑过一次。他唯一的那次笑是由他一位熟人引起的。当时，这位熟人正在读一本欧几里得的书，他问牛顿这部老朽的旧书有什么价值。对此，牛顿不禁放声大笑。

　　牛顿的侄子汉弗莱·牛顿对他的教授生活做了最形象的描述，他写道：

　　“他总是把自己关在屋子里研究，很少去拜访别人，也没有人来拜访他……我从来没见他有过任何消遣或娱乐，不论是骑马出去呼吸新鲜空气，散步、打保龄球，还是任何其他运动。他认为所有这些活动都是浪费时间，不如利用这些时间去作学问……他很少到餐厅用饭……如果没人关照他，他会变得非常邋遢，鞋子拖在脚上，袜子不系袜带，穿着睡袍，而且，几乎从来也不梳头。”

　　然而，随着他未发表的论文，如《分析学》和《流数法和无穷级数》等等的流传，牛顿的名望与日俱增。1671年，他的第一部大作终于公诸于世，他在伦敦皇家学会的一次会议上展示了他新发明的反射望远镜。这一完美的光学仪器，是牛顿的光学理论和他实际动手能力相结合的产物。科学界高度赞扬他的努力，他的反射望远镜依靠底部反射镜而不是依靠顶部沉重而不稳定的透镜，直至今日，这种望远镜依然是光学天文学的首选仪器。

　　在这一成功发明的激励下，牛顿不久向皇家学会递交了一篇论光学的论文。但是，这一次，他的激进思想受到了某些著名学者，如罗伯特·胡克的质疑与嘲笑。论争本是学术界一个很普通的现象，但牛顿却深为厌恶。一旦面对批评，他就会退回到他个人的小世界中，拒绝发表或与人交流他的思想，以免再次与那些不开化的同事发生冲突。他的这一决定意味着有许多辉煌的科学论文将几十年地躺在他的抽屉里，不为世人所知。我们在下一章将看到，他的这种做法造成了灾难性的后果，几年后，他的发现，特别是微积分，被别人首先发表，他不得不要求优先权。

　　随着17世纪70年代的发展，牛顿的兴趣从数学与物理学转移到了其他方面。他将大量时间用于炼金术的研究，但我们从中可以看到一个现代化学家的头脑。然而，也有些事情未免迂腐，例如他在研究《圣经》时着眼于计算各位先知的年代与时期，计算约柜的尺寸大小，等等。他用了大量时间，如此这般地对《圣经》作了慎密的分析，其结果是他拒绝接受三位一体之中圣子耶稣的概念。想一想聘用他的三一学院这个名字，事情真有些古怪。艾萨克的观点过于激进，他不得不保持沉默，至少在他任卢卡斯讲座教授期间是如此。

　　这样到了1684年。后来以其名字命名彗星的著名天文学家埃德蒙·哈雷拜访了牛顿，并力劝牛顿公布他的惊人发现。犹如往常一样，牛顿仍不情愿，但哈雷的劝说（更不必说哈雷答应负担出版费用）使牛顿相信该是发表他的著作的时候了。牛顿狂热起来，开始勤奋地工作，整理他的论文。这部著作日后成为他的科学代表作，其中阐述了他对运动定律和万有引力原理的研究。1687年，这部著作终于问世了，题为《自然哲学的数学原理》。展现在我们面前的，是一个宇宙体系，是对月球和行星运动的精确的数学推导，它使天地万物的严整性得到了解释，并与牛顿奇妙的方程正相吻合。自《原理》发表后，科学的面貌为之一变。

　　《原理》获得了巨大的成功。虽然很少有人能够洞晓书中全部奥妙，但人们普遍认为牛顿近乎超人。许多年以后，法国数学家皮埃尔—西蒙·拉普拉斯记载了他对牛顿科学发现的尊崇、敬畏和羡慕之情：

　　“牛顿是迄今为止最伟大的天才，也是最幸运的人，因为只有一个世界体系可供我们发现。”

　　《原理》发表后的第二年是英国历史上重要的一年。1688年底，斯图亚特王朝的最后一位国王詹姆斯二世被赶下王位，逃往法国，威廉三世和玛丽二世即位。在随后称为“光荣革命”的政治改革中，国会的影响越来越大，而君主的权势则日趋衰落。有趣的是，1689年，从剑桥派往威斯敏斯特的国会议员不是别人，正是卢卡斯讲座教授艾萨克·牛顿。

　　作为新君王的支持者，牛顿显然未能以其国会议员的身份给英国政府留下什么印象。尽管如此，他的生活却的确因此而发生了新的转机。如今，他不再是一个落落寡合，离群索居的学者，却以一种几年前甚至不可想象的方式登上了社会舞台。伴随《原理》一书的巨大成功，这位剑桥大学的教授成为伦敦的官员。他似乎很喜欢这种变化，并与许多知名人士交上朋友，如约翰·洛克和塞缪尔·佩皮斯。但是，1693年，牛顿生了一场大病，几乎精神崩溃，他生病的原因在一定程度上是因为他在做炼金术实验时常常品尝化学药品。1695年，牛顿身体康复，第二年，他辞去了卢卡斯讲座教授的职务，并离开了三一学院。自从牛顿作为一名普通的大学生从乌尔索普进入了三一学院以来，已经度过了35个春秋。35年的时光已将这个年青人变成了任何人都未曾预想到的伟人。

　　那么，这位前教授后来又做了些什么呢？由于社会公职给牛顿留下了良好的印象，也许还由于他越来越认识到自己科学发明的顶峰时期已经过去，牛顿准备尝试一条完全不同的道路。因而，1696年，他接受了造币局局长的职位。当时，英国的货币是在伦敦塔上铸造的，而那里也是造币局局长生活和工作的地方。据说，牛顿在造币局干得很不错，他监管了英国币制的全面改革，并且与伦敦市的金融家和银行家们相处得十分融洽。

　　牛顿任造币局局长的这些年，还有机会从事科学撰著。1704年，他出版了《光学》，在这部巨著中，牛顿奠定了他的光学理论，就像《原理》阐明了他的万有引力定律一样。有趣的是，牛顿是在《光学》的附录中，第一次发表了他的流数法理论，这篇论文题为《曲线求积术》。虽然牛顿早在40年前就已提出了这些思想，但是，直到1704年，他的这些理论才公诸于世。遗憾的是，他发表得太晚了。几年前，欧洲大陆的数学家已经发表了他们自己对微积分研究的论文。牛顿宣称他现在发表的这些理论其实已经诞生40年之久，对此，欧洲大陆的一些数学家即使没有公开表示怀疑，至少反应十分冷漠。

　　就在《光学》发表前不久，牛顿当选为皇家学会主席。他在这一职位上同样显示出非凡的管理才能，他的这些才能在他任职造币局局长期间便已有目共睹。牛顿担任皇家学会主席一职直到逝世。

　　1705年，卓异的科学家、杰出的数学家、公务员和皇家学会主席艾萨克·牛顿被安妮女王封为爵士，倍极恩宠。授爵仪式恰当地选在剑桥大学三一学院举行。牛顿以“艾萨克爵士”的头衔又生活了22年。

　　在这最后22年里，牛顿一直生活在伦敦，他将时间分别用于造币局和皇家学会的公务、科学撰著和参加首都一些有影响的活动。这些年肯定是艾萨克爵士春风得意的时期，他的权势和名望（更不要说他的个人财产）与日俱增。

　　牛顿一直活到84岁高龄，于1727年逝世。其时，艾萨克·牛顿已被国人视为国宝，他也的确不愧这一崇高的赞誉。牛顿显然是欧洲最优秀的科学家，他的影响不亚于一次革命。他死后安葬在威斯敏斯特教堂，享受到与国王和英雄同等的殊荣。今天，牛顿的塑像醒目地矗立在威斯敏斯特教堂唱诗班大屏饰左面入口处，所有进入这一圣地的人都会一眼看到。

　　全世界有许多赞颂牛顿的诗篇。例如，英国大诗人亚历山大·蒲柏曾写道：

　　宇宙与自然的规律藏匿在夜空，

　　上帝说“要有牛顿”，于是一切都变得光明。

　　另一位著名诗人威廉·华兹华斯，性格有些压抑，他描写了诗人在三一学院度过的一夜：

　　对这位孤独的远航家的影响，怎么估计也不过分。我们只需回忆一下100年前卡尔达诺的世界观，就足以理解牛顿影响的深远意义——卡尔达诺的世界观是一种将科学与最古怪的迷信混合在一起的大杂烩。那时，世界在很大程度上被看作一个无理性的地方，一种超自然的力量渗透在世间一切事物之中，从彗星的形状到日常生活中的灾难，无所不包。而牛顿却以其极有规律的世界，从自然界排除了超自然的力量。他的理论阐述了一个理性的世界，一个有其基本法则（这在牛顿的遗产中占有很大比重），凡人能够解释的世界。

　　有趣的是，就在牛顿进入剑桥大学166年后，另一位英国青年在剑桥大学基督学院开始了他的大学生涯，而且，他的住处离牛顿在三一学院的旧居仅隔几个街区。年轻的查尔斯·达尔文肯定常常走在许多年前牛顿所熟知的剑桥大学同一条街道上。像牛顿一样，达尔文也不愿公布他的发现，但是，1859年，他动笔写出了经典性的《物种起源》，这部巨著对生物学的影响，一如牛顿的《原理》之于物理学。犹如牛顿创造了物理“自然”世界一样，达尔文也同样创造了生物“自然”世界，他解释了地球上生命冲动的似乎无法解释的机制。他们两人的影响都十分深远，远远超出了科学本身。他们两人的理论都使人类对现实世界的认识产生了一场深刻的革命。今天，达尔文也同样长眠在威斯敏斯特教堂，与牛顿墓只相距几英尺——两个科学巨人，两个登峰造极的剑桥大学学生。

　　艾萨克·牛顿在其晚年，回忆他不平凡的智力探索过程，谦和地承认，如果他比别人看得更远些，那是因为他站在巨人的肩膀上。这里，他当然是指维埃特、伽利略、笛卡儿和英雄世纪的其他伟人。现在，他自己的肩膀也将托起后代学人。在一段常常被人引用的非常著名的话里，牛顿写道：

　　“我不知道世人怎样看我；可我自己认为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子，不时为拾到更光滑些的石子或更美丽些的贝壳而欢欣，而展现在我面前的是完全未被探明的真理之海。”

　　但是，也许我们应当以下面这段墓志铭，祷祝他在威斯敏斯特教堂安息：

　　“生民们，曾有如此一位伟人为人类而生，你们应当感到庆幸。”