第二章
第二章
第二章 欧几里得对毕达哥拉斯定理
（勾股定理）的证明
（公元前约300年）
欧几里得的《原本》
从希波克拉底到欧几里得，其间经历了150年。在这150年间，希腊文明发展并臻于成熟，因柏拉图、亚里士多德、阿里斯托芬和修昔底德的著作而光大。甚至在伯罗奔尼撒战争的动乱中和在亚历山大大帝统治的希腊帝国全盛时期，希腊文明都在发展。到公元前300年时，希腊文化的发展已跨越地中海，并扩展到更遥远的世界。在西方，希腊统治至高无上。
在从公元前440年到公元前300年期间，许多伟人都曾为数学的发展作出过不朽的贡献，其中有柏拉图（公元前427—347年）和欧多克索斯（公元前约408—355年），虽然只有后者才是真正的数学家。
柏拉图，雅典的伟大哲学家。我们之所以提到他，主要不是因为他对数学的创造，而是因为他对数学的热情和高度评价。柏拉图年轻时在雅典师从苏格拉底，我们对他那位值得尊敬的老师的了解，主要也由此而来。柏拉图曾漫游世界多年，认识了许多伟大的思想家，并形成了他自己的哲学思想体系。公元前387年，他返回他的出生地雅典，并在那里建立起学园。学园聚集了不少饱学之士来此献身于学习和研究。在柏拉图的引导下，希腊学园成为那个时代一流的思想中心。
在学园众多的学科中，没有一个学科能比数学更受重视。数学的美感和条理与秩序吸引了柏拉图，代表了他心目中未受单调日常生存需求污染的理想的抽象世界。柏拉图认为，数学是锻炼思维的最佳途径，其严密的逻辑推理要求人们极度专注、机敏和谨慎。据说，穿过拱形门楼，进入这一久负盛名的学园，首先映入眼帘的是一行大字：“不懂几何的男子请勿入内”。尽管这一警句带有明显的性别歧视，但却反映了一种观点，即只有那些首先证明自己在数学上成熟的人才有能力面对学园的智力挑战。可以说，柏拉图把几何学看作理想的入学要求，看作一种当时那个时代的学术能力测验。
虽然现在人们很少把当初的数学发现归于柏拉图的名下，但希腊学园的确培养了许多颇有才华的数学家，其中一个无可争辩的伟大数学家就是尼多斯的欧多克索斯。欧多克索斯在学园创建初期就来到雅典，并直接聆听过柏拉图的演讲。欧多克索斯的贫困迫使他不得不居住在雅典的郊区比雷埃夫斯，每日往返于学园和比雷埃夫斯之间，成为最早的通勤者（虽然我们不能确切知道，他是否需要支付远郊车费）。在他后来的生涯中，他曾到过埃及，后来又返回他的出生地尼多斯。在这期间，他注意吸收新的科学发现，并不断扩充科学的疆界。欧多克索斯对天文学尤其感兴趣，他对月球和行星的运动做出了深入的解释，在16世纪哥白尼革命之前，其学说颇有影响。他从不接受对自然现象的天命的或神秘的解释，相反，他主张对自然现象进行观察，并作出理性的分析。因此，托马斯·希思爵士曾称道说：“如果当时有科学家的话，他称得起是其中一个。”
据认为，欧多克索斯对数学作出了两大贡献，其一是比例论，其二是穷竭法。毕达哥拉斯派曾因发现不可通约量而陷入绝境，而欧多克索斯的比例论则对走出这种绝境提供了逻辑依据。毕达哥拉斯派的绝境在有关相似三角形的几何定理中尤为明显，这些定理最初是根据一种假设论证的，即任何两个量都是可公度的。当这一假设被推翻后，几何学中一些最重要的定理也随之瓦解。这就是人们有时所谓的希腊几何的“逻辑耻辱”。也即，人们虽然相信这些定理是正确的，但他们却拿不出有力的证据来支持他们的观点。正是欧多克索斯发明的比例论为人们提供了这一长期寻觅的证据。他的理论自然使希腊数学界人士如释重负。我们如今可以在欧几里得的《原本》第五篇中找到欧多克索斯的理论。
欧多克索斯的另一个伟大贡献，即穷竭法，可以直接应用于确定更加复杂几何图形的面积和体积。他所采用的一般方法是，用一系列已知的基本图形不断逼近不规则图形，而每一次逼近，都比前一次更加近似于原图形。例如，我们可以认为，圆形是包含在一曲线里的图形，因而也是一种非常难于解出的平面图形。但是，如果我们在圆内作一个内接正方形，然后再把正方形的每条边一分为二，使之成为八边形，再把八边形的每条边平分，使之成为16边形，等等，依次进行，我们就可以得到一个非常近似于圆形面积的比较简单的多边形。用欧多克索斯的话说，这个多边形从内部“穷竭”了圆。
实际上，这个过程就是阿基米德确定圆面积的过程，我们将在第四章看到。阿基米德不仅将这一基本逻辑理论归功于欧多克索斯，而且还认为他用穷竭法证明了“任何锥体的体积都等于与之同底同高柱体体积的三分之一”，这决不是一个无足轻重的定理。熟悉高等数学的读者都会承认，穷竭法是现代“极限”概念的几何先驱，同时也是微积分的中心。欧多克索斯的贡献意义十分深远，人们一般认为他是仅次于最伟大的数学家阿基米德本人的古希腊卓越数学家。
公元前四世纪的最后30年，马其顿国王亚历山大大帝即位，并出发征服世界。公元前332年，亚历山大大帝征服埃及，随之在尼罗河口建亚历山大城。这座城市发展极为迅速，据说在其后30年间，人口已达50万。而更为重要的是，在这座城市中建立了宏大的亚历山大图书馆，这座图书馆很快便取代了希腊学园，成为世界的学术重镇。亚历山大图书馆藏有600，000多部纸莎草纸文稿，其藏书之丰超过了当时世界上的任何一个图书馆。的确，在整个希腊和罗马统治时期，亚历山大城始终是地中海地区的思想中心，直到公元641年被阿拉伯人摧毁。
公元前约300年，在亚历山大城吸引的众多学者中，有一位名叫欧几里得。他来到亚历山大城，创办了一所数学学校。我们对欧几里得的生平和他到达非洲海岸前后的情况都知之甚少，但他似乎曾在希腊学园接受过柏拉图弟子的训导。不管情况是怎样的，欧几里得的影响十分深远，实际上，所有后来的希腊数学家都或多或少地与亚历山大学校有过某种联系。
欧几里得在数学史上声名显赫，得益于他编纂的《原本》。这部著作对西方思想有着深远的影响，人们一个世纪又一个世纪地研究、分析和编辑此书，直至现代。据说在西方文明的全部书籍中，只有《圣经》才能够与欧几里得的《原本》比美。
得到人们高度评价的《原本》是一部大型汇编书籍，全书分为13篇，465个命题，其涉及范围，从平面几何、立体几何到数论，无所不包。今天，人们一般认为，在所有这些定理中，只有比较少的一部分是欧几里得本人创立的。尽管如此，但从整个希腊数学体系来看。他毕竟创造了一个数学宝库，它是如此的成功，如此的受人尊崇，以致于所有前人的类似著作都相形见绌。欧几里得的著作很快就成为了一种标准。如此一来，如果一个数学家说到1.47，就只能意为《原本》第一篇第47命题，而无须解释我们所说的是《原本》，犹如人们一提到“I《列王记》7∶23”，就知道说的是《圣经》一样。
实际上，这种比较是非常恰当的，因为没有一本书能像欧几里得的大作那样被人看作“数学的圣经”。几百年来，《原本》已出版了2000多个版本，这个数字足以使今天数学教科书的编写家羡慕不已。众所周知，即使在当时，《原本》也获得了巨大的成功。罗马帝国崩溃后，阿拉伯学者将《原本》带到了巴格达。文艺复兴时期，《原本》再度出现于欧洲，其影响十分深远。16世纪的意大利著名学者及100年后年轻的剑桥大学学生艾萨克·牛顿都曾拜读过这部巨著。下面，让我们从卡尔·桑德堡著的亚伯拉罕·林肯传中摘录一段，看一看没有受过什么正规教育的年轻律师林肯是如何磨砺他的推理技能的：
“……购买一部欧几里得的《原本》，这部书已有2300年的历史……（他）在外出巡回出庭时，把书装在他的旅行袋里。晚上……别人都已入睡了，他还在借着烛光研读欧几里得。”
人们屡屡提及，林肯阅读莎士比亚和《圣经》，文风受到很大影响。同样，他的许多政论文也明显地反映出欧几里得命题的逻辑发展。
伯特兰·罗素（1872—1970年）对《原本》情有独钟，他在自传中写下了这样一段引人注目的回忆：
“11岁时，我开始学习欧几里得的书，并请我的哥哥当老师。这是我生活中的一件大事，犹如初恋般的迷人。”
我们在本章和下一章讨论《原本》时，应该知道，我们是在沿着一条其他许多人业已走过的道路前进。只有极少数的一些经典著作，如《伊利亚特》和《奥德赛》，才有资格共同组成这一文化遗产。我们将要讨论的命题，阿基米德、西塞罗、牛顿、莱布尼兹、拿破仑和林肯都曾研究过。侧身于这一长长的学生名单之中，不免令我们有些忐忑不安。
欧几里得天赋超人，与其说他创造了一种新的数学，不如说他把旧数学变成一种清晰明确、有条不紊、逻辑谨严的新数学。这绝不是无足轻重的小事。必须认识到，《原本》绝不仅仅只是数学定理及其证明；早至泰勒斯时代，数学家就已对命题作出过论证，而欧几里得对命题作了辉煌的公理化演绎，这是一个根本的区别。在《原本》中，他首先给出要素：23条定义，5条公设和5个公理。这些都是基础，是欧几里得体系的“已知”。他可以在任何时候应用这些要素。利用这些要素，他证明了他的第一个命题。然后，以第一个命题为基础，他可以将他的定义、公设、公理与第一个命题都融合进对第二个命题的证明。如此循序渐进，直至逐条证明所有的命题。
因此，欧几里得不仅仅作出了证明，更重要的是，他是在这种公理结构中作出的证明。这种论证方法的优越性十分明显，其一就是可以避免循环推理。每一个命题都与前一个命题有着十分清晰而明确的联系，并可直接导回原来的公理。懂得计算机的人甚至还能够画出一张流程图，准确显示证明一个特定定理可以应用哪些推导结果。这种证明方法比“投入”法优越得多，因为使用“投入”法，人们总是不清楚以前的哪些推导结果可以应用，哪些不可以应用。而且，在推导过程中，还有一个很大的危险，就是，如果要证明定理A，可能需要应用结果B，但反过来，如果不应用定理A本身，可能又无法证明结果B。这样，就出现了自我相关的“怪圈”，犹如一条蛇吞吃了自己的尾巴。在数学上，显然徒劳无益。
除此以外，公理化还有另一个优点。由于我们能够明确判别任何命题的前一个命题，因此，如果我们需要改变或消除某一基本公设，我们就能够立即觉察出可能会出现哪些情况。例如，如果我们没有应用公设C或根据公设C证明的任何结果，就证明出了定理A，那么，我们可以断言，即使消除公设C，定理A依然正确。这看起来似乎有点儿深奥，但在存有争议的欧几里得第5公设中，恰恰出现了这样的问题，引起了数学史上一次持续时间最长、意义最深远的辩论。我们将在本章的“后记”中详细讨论这一问题。
因此，《原本》的公理化演绎方法是非常重要的。虽然欧几里得没有使之尽善尽美，但它的逻辑极为严密，而且，欧几里得成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的连续网络，所有这些，都使之成为其后所有数学著作的范本。时至今日，在神秘的拓扑学、抽象代数或泛函分析领域，数学家们还是首先提出公理，然后，一步一步地推导，直至建立他们奇妙的理论。而这正是欧几里得谢世2300年后的再现。
第一篇：序
在本章中，我们只重点讨论《原本》的第一篇；其后几篇，我们将在第三章讨论。第一篇一开始就提出了一系列互不连贯的平面几何定义。（欧几里得的全部引文均摘自托马斯·希思编辑的百科全书中“欧几里得《原本》十三篇”。）其中一些定义如下：
□ 定义1 点是没有部分的一种东西。
□ 定义2 线是没有宽度的长度。
□ 定义4 直线是其上各点无曲折地排列的线。
欧几里得今天的学生会发现这些定义的措词都是不可接受的，而且，还多少有点儿古怪。显然，在任何逻辑系统中，并非每个名词都是可以定义的，因为定义本身又是由其它名词组成的，而那些名词也必须定义。如果一个数学家试图对每个概念都给出定义，那么，人们一定会批评他在制造一个庞大的循环论证的怪圈。例如，欧几里得所说的“没有宽度”究竟是什么意思？而“各点无曲折地排列”的技术性含义又是什么？
从现代观点来看，一个逻辑系统总是始于一些未经定义的词，而以后所有的定义都与这些词有关。人们肯定会尽力减少这些未定义词的数量，但这些词的出现却是不可避免的。对于现代几何学家来说，“点”和“直线”的概念就始终未经定义。像欧几里得所用的陈述，有助于我们在头脑中形成某些图像，并非完全没有益处；但是，作为准确的逻辑定义来说，这最初的几个词是不能令人满意的。
所幸他后来的定义却比较成功。其中一些在我们第一篇的讨论中非常突出，值得予以评述。
□ 定义10 一条直线与另一条直线相交，如果两个邻角相等，则这两个邻角都是直角，而与另一条直线相交的直线叫做那条直线的垂线。
现代读者可能会对此感到奇怪，欧几里得并没有将直角定义为90°角；实际上，在《原本》中，也没有任何一个地方讲到“度”是角的测量单位。在这部书中，唯一有意义的角测量是直角。正如我们所看到的那样，欧几里得将其定义为一条直线上两个相等的邻角之一。
□ 定义15 圆是包含在一条线里的平面图形，因此，从圆内某一点出发连到该线的直线都相等。
显然，圆内的“某一点”是指圆心，而他所说的相等的“直线”则是半径。
欧几里得在定义19至22中，定义了三角形（由三条直线包含的平面图形）、四边形（由四条直线包含的平面图形）和一些特定的子类，如等边三角形（三条边都相等的三角形）和等腰三角形（“只有两条边相等”的三角形）。他最后的定义是十分重要的：
□ 定义23 平行直线是两条在同一平面且向两个方向无限延伸的直线，这两条直线在两个方向上不相交。
请注意，欧几里得避免了用“处处等距”的术语来定义平行线。他的定义更为简单，而且少有逻辑陷阱：平行线只是在同一平面且不相交的直线。
基于这些定义，欧几里得提出了五个几何公设。请不要忘记，这些都是欧几里得体系中的“已知”，是不言自明的真理。他当然对此必须审慎地选择，以避免重叠或内在的不一致。
公设1 从任一点到任一点〔可〕作一条直线。
公设2 有限直线〔可〕沿直线无限延长。
我们即刻可以看出，这前两个公设恰好可以允许我们用无刻度直尺作图。例如，如果几何学家想用一条直线连接两点（这正是可以用直尺完成的作图），则公设1为此提供了逻辑依据。
公设3 给定中心和距离（半径），〔可以〕作一个圆。
这样，公设3就为以已知点为圆心，以已知距离为半径，用圆规作圆提供了相应的逻辑根据。因此，我们可以说，这前三个公设加在一起，就为欧几里得作图工具的全部用途奠定了理论基础。
是否确实如此呢？人们只要回想一下自己的几何作图训练，就会想起圆规的另一个用途，即用以将平面上某一部分的固定长度转移到另一部分。具体做法是，已知一条线段，拟在另一处复制其长度。将圆规的尖端放在线段的一端，并将圆规的铅笔端对准线段的另一端；然后，将圆规固定，并拿起圆规，放在需要复制线段的位置。这是一种非常简便，又非常有用的方法。但是，按照欧几里得的规则，这种方法却是不允许的，因为在他的著作中，没有一个地方提出一种公设，允许用这种方法转移长度。因此，数学家们常常称欧几里得的圆规是“可折叠的”。就是说，虽然圆规完全有能力作圆（如公设3所保证的），但只要把圆规从平面拿起，圆规就闭拢了，无法再打开。
造成这种情况的原因究竟是什么？欧几里得为什么不再增加一条公设，以支持这一非常重要的转移长度的方法呢？答案十分简单：他不需要假定这样一种方法作为公设，因为他证明出了这种方法，并将其作为第一篇的第三命题。也就是说，虽然欧几里得的圆规一从纸上拿起来变成“可折叠”的了，但他的确提出了一种十分巧妙的转移长度的方法，并证明了他的方法为什么奏效。欧几里得令人仰慕之处就在于，他尽力避免假定他实际上能够推导出来的公设，因而使他的公设的数目少而且精。
公设4 所有直角都相等。
这一公设与作图无关，它提供了一个贯穿于整个欧几里得几何体系的统一的比较标准。定义10引入了直角概念，而现在，欧几里得则假定任何两个直角，不论在平面的什么位置，都相等。基于这一公设，欧几里得提出了一个在希腊数学界引起最大争议的公设：
公设5 如果一条直线与两条直线相交，且如果同侧所交两内角之和小于两个直角，则这两条直线无限延长后必将相交于该侧的一点。
如图2.1所示，这一公设的意思是说，如果a＋β小于两个直角，则直线AB与CD相交于右侧。公设5常常被人们称为欧几里得的平行线公设。这显然有点儿用词不当，因为实际上这一公设规定了使两条直线相交的条件，因此，根据定义23，更准确的名称应该叫不平行公设。
显然，这一条公设与其它公设完全不同。它的行文较长，而且需要有图帮助理解，似乎远不是那种不证自明的真理。这条公设看来过于复杂，与泛泛而谈的“所有直角都相等”显然不属同一类。实际上，许多数学家都直觉地感到这第5条公设实际上是一个定理。他们认为，正如欧几里得不需要假定可用圆规转移长度，他也不需要假定这样一条公设，他完全可以借助更基本的几何性质证明这一点。有证据表明，欧几里得自己也对这个问题感到有点儿不安，因为他在第一篇的演绎中一直尽力避免应用这一平行线公设。也即，在最初的28个命题中，既然他感到完全可以首先和经常使用其他公设，他就放弃了使用第5条公设。但诚如“后记”中所表明，怀疑是否需要这一公设是一回事，作出实际证明则是另一回事。
根据这一有争议的公设，欧几里得提出了五个公理，从而完了他的序篇。这五个公理也都是不证自明的真理，但具有更一般的性质，不仅仅只对几何学有效。这些公理是
□ 公理1 与同一个东西相等的东西，彼此也相等。
□ 公理2 等量加等量，总量仍相等。
□ 公理3 等量减等量，余量仍相等。
□ 公理4 彼此重合的东西相等。
□ 公理5 整体大于部分。
在这五个公理中，只有第4个公理有点儿让人费解。显然，欧几里得的意思是，如果一个图形能够严格不变地从纸上某一位置拿起，放到第二个图形上，两个图形完全重合，则两个图形在各个方面都相等——即它们有相等的角，相等的边，等等。长期以来，人们认为，公理4具有某种几何特征，应该归入公设的范围。
所有这些就是整个《原本》大厦建筑其上的假设陈述的基础。现在，让我们再来看一看青年伯特兰·罗素在其自传中的另一段回忆：
“我听说欧几里得证明了一些定理，但看到他从公理入手，感到非常失望。起初，我拒绝接受这些，除非哥哥讲明这样做的道理，但他说，‘如果你不接受它们，我们就无法继续。’我为了能继续学习，勉强接受了它们。”
第一篇：早期命题
在《序》的基础上，欧几里得开始证明他第一篇中的前48个命题。我们在此只讨论那些特别有趣或特别重要的命题，目标是要到达命题I．47和I．48，因为这两个命题是第一篇的逻辑顶峰。
如果一个人想从一些特定公理开始演绎几何，那么，他的第一个命题应该是什么呢？对于欧几里得来说，这第一个命题就是
命题I.1 在已知有限直线上作等边三角形。
证明 欧几里得开始先作已知线段AB，如图2．2所示。然后，他以A为圆心，以AB为半径，作圆；再以B为圆心，以AB为半径，作第二个圆。当然，这两个圆都应用了公设3，而且，在从纸上拿起圆规时，不要求圆规保持打开状态。设C为两圆交点。欧几里得根据公设1作直线CA和CB，然后，宣布△ABC是等边三角形。因为根据定义15，由于AC和
这是一个非常简单的证明，只应用了两个公设，一个公理和两个定义，乍一看，似乎很完美。但遗憾的是，这个证明是有缺点的。即使古希腊人，不论他们对《原本》评价多高，也都看出了欧几里得最初论证的逻辑缺陷。
问题出在C点上。欧几里得如何证明两个圆实际上一定会相交呢？他怎么知道这两个圆不会以某种方法相互通过而不相交呢？显然，由于这是他的第一个命题，他以前并没有证明过这两个圆必然相交。而且，在他的公设或公理中，也都没有提到这个问题。对C点存在的唯一证明就是图中的明确表示。
但问题就在这里。因为如果说欧几里得想从他的几何中排除什么，那就是代替了证明的对图的依据，根据他自己的基本规则，证明必须建立在逻辑基础上，必须建立在依据公设和公理所做的谨慎的推理基础上，一切结论最终都必须来源于此。欧几里得“让图说话”，就违背了他给自己制定的规则。并且，如果我们想从图中得出结论，我们完全可以根据观察来判明命题1.1，即所作三角形看起来是等边三角形。如果我们求助于这种视觉判断，那么，一切都不再成立。
现代几何学家认为，需要增加一个公设，以作为判定这两个圆必定相交的理论根据，这一公设有时称之为“连续性公设”。他们还引入了其他公设，以弥补《原本》中这里或那里出现的类似缺陷。本世纪初，数学家戴维·希尔伯特（1862—1943年）依据20个公设演绎出他自己的几何学，堵塞了欧几里得的许多漏洞。因而， 1902年，伯特兰·罗素对欧几里得的著作给予了否定的评价：
“他的定义并非总是确定的，他的公理也不是都无法证明，他的论证需要许多公理，而他自己却没有意识到。严谨的证明应在没有图形辅助时依然保持其论证的力量，但欧几里得的许多早期证明却不能如此……他的著作作为逻辑名作的价值在很大程度上被夸大了。”
大家公认，欧几里得在以图像、而不是以逻辑为先导时，他不过是没做应该做的事。而在他全部465个命题中，并没有一处做了不该做的事。他的465个定理，没有一个是虚假的。只要对他的证明作一些小小的改动，并增加一些遗漏的公设，他的全部命题就能够经受住时间的考验。那些赞同罗素观点的人不妨首先将欧几里得的著作与希腊天文学家、化学家或物理学家的著作作一番比较。用现代标准来看，那些古希腊科学家真正是处于原始状态，今天，没有一个人会依据这些古代科学家的著作来解释月球的运动或肝脏的功能。但与此相反，我们经常可以请教欧几里得。他的著作是一项永恒的成就。它无须依赖收集数据或创造更精密的仪器。一切只需敏锐的理性，而欧几里得恰恰高于理性。
命题I.2和I.3巧妙解决了前面提到的在没有移动圆规的明确公设情况下转移长度的问题；而命题I.4则是欧几里得的第一个全等命题。用现代话说，这一命题就是“边角边”或“SAS”三角形全等模式，对此，读者应回想起中学几何课上学过的知识。命题I.4设定，如果有两个三角形，其中一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角相等，则这两个三角形全等（图2.3）。
后，他拿起△DEF，放到△ABC上，并证明，两个三角形完全重合。这种用叠加方式证明的方法早已不受欢迎。并且，谁能说当图形在纸上移动的时候，它们不会变形或扭曲呢？希尔伯特认识到了这种危险，他实质上已将SAS作为他的公理Ⅳ.6。
命题I.5确定等腰三角形的两个底角相等。这一定理以“笨人不过桥”著称。之所以有此说法，一则是因为欧几里得的图形有点儿像一座桥；再则是因为，许多差些的学生都难于理解这一定理的逻辑，因此，也就无法跨过这座桥，进入《原本》的其它部分。
接下来的命题，即命题I．6，是命题I．5的逆命题。该命题确定，如果一个三角形的两个底角相等，则这个三角形是等腰三角形。显然，逻辑学家对定理及其逆定理极感兴趣，所以，欧几里得在证明一个命题后，常常会插入逆命题证明，即使省略或延迟这一证明都不致损害他著作的逻辑。
欧几里得的第二个三角形全等模式——“边边边”或“SSS”，写入了命题I.8。这一命题确定，如果有两个三角形，其中一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边相等，则这三条边所对应的两个三角形全等。
随后的几个命题是作图命题。欧几里得演示了如何用圆规和直尺平分一个已知角（命题I.9）或一个已知线段（命题I.10）。紧跟其后的两个命题则演示了如何作已知直线的垂线，其一是过直线上已知点作垂线（命题I.11），其二是过直线外已知点作垂线（命题I.12）。
欧几里得下面的两个定理是关于邻角∠ABC和∠ABD的，如图2.4所示。他在命题I.13中证明，如果CBD是一条直线，那么，上述两个角之和等于两个直角；在命题I.14中，他证明了这一定理的逆定理，即，如果∠ABC与∠ABD之和等于两个直角，则CBD是直线。接着，他应用这一角与直线的性质，证明了更为重要的命题I.15。
命题I.15 如果两条直线相交，则所形成的对顶角相等（图2．5）。
证明 因为AEB是一条直线，所以，命题I．13保证了∠AEC
与∠CEB之和等于两个直角。同样，我们可以说，∠CEB与∠BED
之和也等于两个直角。公设4称，所有直角都相等，并根据公理1
和2，得出∠AEC＋∠CEB＝∠CEB＋∠BED。然后，根据公理3，
从等式两边各减去∠CEB，欧几里得即得出结论，对顶角∠AEC
和∠BED相等，与命题一致。 证讫。
这一定理又为我们引出了命题I.16，即所谓外角定理，这是《第一篇》中最重要的定理之一。
命题I.16 在任何三角形中，一角的外角大于其他两角中的任何一角。
证明 已知△ABC，延长BC到D，如图2．6所示，我们必须证明∠DCA大于∠CBA或∠CAB。欧几里得先根据命题I．10，平分AC于E，然后，根据公设1，作线段BE。公设2使他可以延长BE，并根据命题I．3，
据命题I.4（即“边角边”或SAS），这两个三角形全等，所以，∠BAE=∠FCE。∠DCA显然大于∠FCE，因为根据公理5，整体大于部分。因此，外角∠DCA大于内对角∠BAC。用同样方法也可以证明∠DCA大于∠ABC。证讫。
外角定理是一个几何不等式。《原本》中随后的几个命题也是如此。例如，命题I．20确定，三角形任何两边之和必大于第三边。但据我们所知，古希腊伊壁鸠鲁派对这一定理很不以为然，因为他们认为这条定理太通俗，犹如不证自明的公理，甚至连驴子也会明白。也就是说，如果有一头驴站在A点（图2.7），而它的食物放在B点。这头驴肯定本能地懂得，从A直接到B，路程比沿两条边走，即从A到C，再从C到B要短。人们曾认为，命题I.20确是一条不证自明的真理，因此应属于公设。然而，如果能够作为一条命题证明这一定理，犹如前文中圆规的例子一样，欧几里得当然不愿再去假定一条公设，而他对这一定理所做的证明又是非常富有逻辑性的。
欧几里得接着又提出了几条不等式命题，随后提出了他最后一条全等定理，即重要的命题I．26。在这一命题中，他首先证明了“角边角”或ASA的全等模式，并以此作为命题I．4“边角边”或SAS全等定理的推论。然后，在命题I．26的第二部分，欧几里得又提出了第四个，也是最后一个全等模式，即“角角边”。对此，他证明，如果∠2=∠5，∠3=
开始，人们会认为这只是“角边角”模式的直接推论而不予考虑。我们可以很清楚地看到，∠2+∠3=∠5+∠6，据此，我们可以得出
∠1=2个直角-（∠2＋∠3）=2个直角-（∠5＋∠6）=∠4
然后，我们可以再回复到“角边角”（ASA）的全等模式，因为我们可以把等式中的角放在AB与DE的任何一端。
这是一个简短的证明；但遗憾的是，这个证明同样不能令人满意。在这里欧几里得不能引用这一证明，因为他还必须证明一个三角形三个角的和等于两个直角。的确，如果没有这一关键性的证明，似乎完全不可能证明“角角边”（AAS）的全等定理。但是，欧几里得却确实证明出了这一定理，他用反证法作了如下精彩的证明。
命题I.26（角角边或AAS） 已知两个三角形，如果其中一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，一条边，即……相等角中的一个对边，等于另一个三角形相应的一条边，则其余的边和其余的角也相等。
之等于EF。然后，作线段AH。
因此，根据“边角边”定理，△ABH与△DEF全等。所以，∠AHB=∠6，因为它们是两个全等三角形的对应角。
然后，欧几里得将注意力集中于小△AHC，并注意到，其外角AHB和相对内角∠3都等于∠6，因此，∠AHB与∠3也应该相等。但是，欧几里得在重要的命题I．16中已然证明，外角必定大于内对角。这一矛盾表
相等，因而，根据“边角边”定理，原三角形ABC与 DEF全等。 证讫。
我们再来看一看这一巧妙论证的重要意义：这四种全等模式（边角边、边边边、角边角和角角边）都成立，但无须涉及三角形三个角之和等于两个直角的问题。
命题I.26结束了第一篇的第一部分。回顾这一部分的内容，我们看到，欧几里得在几何上已很有造诣。即使他还不得不应用他的平行线公设，但他已经确立了四种全等模式，研究了等腰三角形、对顶角和外角，并进行了各种作图。但是，他并未就此止步，仍在尽力走得更远。《原本》随即提出了平行线的概念。
第一篇：平行线及有关命题
命题I.27 一条直线与两条直线相交，如果内错角相等，则这两条直线平行。
证明 见图2.10，假设∠1=∠2，欧几里得必须证明直线AB与CD平行——即，根据定义23，他必须证明这两条直线不会相交。他采用间接证法，先假设这两条直线相交，然后找到所涉的矛盾。假设直线AB与CD延长后，相交于G。那么，图形EFG就是一个延伸很长的三角形。但是，△EFG的外角∠2等于这同一个三角形的内对角∠1。根据命题I．16外角定理，这种情况是不可能的。因此，我们断定，AB与CD，不论延长多长，也不会相交，而这恰恰是欧几里得的平行线定义。证讫。
命题I.27打破了有关平行性的坚冰，但是，欧几里得依然避免应用平行线公设。这一争议很大的公设在欧几里得在命题I.29中证明I.27的逆命题时，终于出现了。
命题I.29 一条直线与两条平行线相交，则内错角相等。
证明 这次，欧几里得假设AB与CD平行（见图2.11），并须证明∠1=∠2。他再次使用间接法，即，假设∠1≠∠2，然后引出逻辑上的矛盾。因为，如果这两个角不相等，那么，其中一个角必定大于另一个角，我们不妨假设∠1＞∠2。根据命题I.13
2个直角=∠1＋∠BGH＞∠2+∠BGH
在此，欧几里得终于引用了公设5，这一公设恰恰适合于这种情况。由于∠2+∠BGH＜2个直角，根据公设5，他可以断定，AB与CD必定相交于右侧，这显然是不可能的，因为已知这条直线是平行的。因此，根据反证法，欧几里得表明，∠1不能大于∠2；同样，∠2也不能大于∠1。总而言之，平行线的内错角相等。证讫。
根据这一证明，欧几里得很容易地便推断出同位角也相等，即，在图2.11中，∠EGB=∠2，因为∠EGB与∠1是对顶角。
在最终引用了平行线公设之后，欧几里得发现，实际上不可能打破以往的习惯。在第一篇余下的20个命题中，几乎没有一处再直接应用平行线公设或基于这一公设的命题，唯一的例外是命题I.31，在这一命题中，欧几里得演示了如何通过直线外一点作已知直线的平行线。但是，平行线公设当然是被嵌入了一个人人都在等待出现的定理之中：
命题I.32 在任何三角形中……三个内角之和……等于两个直角。
证明 已知△ABC，如图2.12所示，他根据命题I.31，作CE平行于三角形的边AB，并延长BC到D。根据命题I.29（平行线公设的推论），他知道，∠1=∠4，因为它们是两条平行线的内错角；并且，还知道，∠2=∠5，因为它们是同位角。因此，△ABC三个内角的和就是∠1＋∠2＋∠3=∠4+∠5＋∠3=2个直角，因为这些角构成了直线BCD。这样，这一著名的定理即证明完毕。 证讫。
自此，欧几里得开始将注意力转向更复杂的问题。他接下来的几个命题提出了有关三角形和平行四边形的面积问题，其中最精彩的是命题I.41。
命题I.41 如果一个平行四边形与三角形同底，且位于同两条平行线之间，则这个平行四边形的面积是三角形面积的两倍。
希腊人以此说法表示，如果一个三角形与任意平行四边形同底同高，则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半。由于这种平行四边形的面积与同底同高的矩形面积是一致的，而矩形的面积是（底）×（高），我们由此可以看到，在命题I.41中包含着一个现代公式，即，面积（三角
但是，欧几里得并未用这种代数语言思维。相反，他想象，△ABC确与平行四边形ABDE具有同一条边，且同位于两条平行线AB与DE之间，如图2.13所示。然后，欧几里得证明，面积（平行四边形ABDE）=2面积（△ABC）。
间隔几个命题之后，欧几里得在命题I.46中演示了如何在已知线段上作正方形图形。当然，正方形是一种规则四边形，因为它的所有边和所有角全等。最初，人们可能会以为这一命题只是一个普通的命题，特别是他们会回忆起第一篇一开始就介绍了等边三角形这种规则三边形的作图。我们只要看一看他对正方形作图的证明就会明白，正方形作图何以延迟了这么长时间，因为对正方形作图的论证，很多要根据平行线的性质，而这当然只能等到关键的命题I.29之后。因此，虽然欧几里得在第一篇的一开始就介绍了规则三角形的作图，但他不得不等到接近第一篇的尾声时才作规则四边形的图形。
第一篇除了证明这46个命题之外，还有最后两个命题需要证明。看来，欧几里得是将最好的留在了最后。在作好所有这些准备之后，他开始冲击毕达哥拉斯定理，这一定理显然是所有数学定理中最重要的定理之一。
伟大的定理：毕达哥拉斯定理（勾股定理）
众所周知，在欧几里得之前，毕达哥拉斯定理即已闻名遐迩，因此，欧几里得决不是这一数学里程碑的发现人。然而，我们下面看到的证明为他赢得了声誉，许多人都相信，这一证明最初是由欧几里得作出的。这个证明的美妙之处在于其先决条件的精练；毕竟，欧几里得为作出证明，只能依赖他的公设、公理和最初的46个命题，可谓捉襟见肘。我们不妨考虑一下他尚未涉及的几何论题：他以前唯一探讨过的四边形是平行四边形；对于圆，基本上尚未探索；而对于特别重要的相似性，则直到第六篇才开始阐述。虽然可以确信，如果应用相似三角形，可以对毕达哥拉斯定理作出非常简短的证明，但是，欧几里得不愿把这一重要命题的证明推迟到第六篇以后进行。显然，他希望尽可能早地直接涉及毕达哥拉斯定理，因此，他创立了一个证明，并以此作为《原本》的第47个命题。从这个命题中，我们可以看到，在此之前的许多命题都指向了伟大的毕达哥拉斯定理，因此，我们可以说第47命题堪称第一篇的高潮。
在我们详细介绍欧几里得的证明之前，我们不妨先来看一看用欧几里得语言阐述的这个命题，从中可以窥见其论证方法之巧妙。
命题I.47 在直角三角形中，斜边上的正方形面积等于两个直角边上的正方形面积之和。
请注意，欧几里得的命题不是关于代数方程式a2=b2＋c2，而是述及了一种几何现象，涉及到以直角三角形的三条边为边所作的实在的正方形。欧几里得必须证明，以AB和AC为边的两个小正方形面积之和等于以斜边BC为边的大正方形面积（见图2.14）。为证明这一点，他采用了一个非常奇妙的方法，从直角顶点开始作线段AL，使之与大正方形的边平行，并将大正方形分割为两个矩形。现在，欧几里得只要证明左边矩形（即以B和L为对角的矩形）的面积等于以AB为边的正方形面积；同样，右边矩形的面积等于以AC为边的正方形面积即可。由此可直接导出，两个矩形面积之和等于大正方形面积，同样也就等于两个小正方形面积之和。
这一普通方法非常巧妙，但还需要补充一些细节。幸好，欧几里得在他的早期命题中已完成了全部准备工作，因此，现在的问题是如何将它们谨慎地组合起来。
证明 根据假设，欧几里得已知∠BAC是直角。他应用命题I.46，在三条边上作正方形，并应用命题I.31，过A点作AL平行于BD，然后，连接AD与FC。初看起来，这些辅助线似乎显得很神秘，但它们很快就会变得浅显易懂了。
对于欧几里得来说，关键的问题是要证明CA与AG在同一条直线上。欧几里得指明，根据正方形作图，∠GAB为直角，而根据假设，∠BAC也是直角。由于这两个角的和等于两个直角，命题I.14保证了GAC是一条直线。有趣的是，在这一显然只涉及到很少的技术性问题的证明中，欧几里得唯一一次应用了∠BAC是直角这一事实。
现在，欧几里得开始将目光转向两个细长的三角形ABD和FBC。这两个三角形的短边（分别为AB和FB）相等，因为它们是一个正方形的两条边；同理，两个三角形的长边（BD和BC）也相等。那么，它们的对应夹角是否相等呢？由于∠ABD是∠ABC与正方形直角∠CBD之和，而∠FBC是∠ABC与正方形直角∠FBA之和。公设4规定，所有直角都相等。公理2则保证了等量之和相等。因此，∠ABD=∠FBC。根据“边角边”定理（即命题I.4），欧几里得证明狭长三角形ABD与FBC全等；因此，这两个三角形的面积相等。
到目前为止，一切顺利。接着，欧几里得指明，△ABD与矩形BDLM具有同一条边BD，并且，位于同两条平行线（BD与AL）之间。因此，根据命题I.41，BDLM的面积等于△ABD面积的2倍。同样，△FBC与正方形ABFG也具有同一条边BF。并且，欧几里得已证明GAC是一条直线，因此，△FBC与正方形ABFG也同位于平行线BF与GC之间；根据命题I.41，正方形ABFG的面积也等于△FBC面积的2倍。
欧几里得综合这些结果和先前证明的三角形全等，得出：
面积（矩形BDLM）=2面积（△ABD）
=2面积（△FBC）
=面积（正方形ABFG）
至此，欧几里得完成了一半使命。下一步，他需证明矩形CELM的面积等于正方形ACKH的面积。对此，他可以用同样的方法证明。首先，连接AE与BK，然后，证明BAH是一条直线，并根据“边角边”定理，证明△ACE与△BCK全等。最后，引用命题
I.41，欧几里得推论：
面积（矩形CELM）=2面积（△ACE）
=2面积（△BCK）
=面积（正方形ACKH）
至此，毕达哥拉斯定理呼之欲出，因为：
面积（正方形BCED）
=面积（矩形BDLM）+面积（矩形CELM）
=面积（正方形ABFG）+面积（正方形ACKH）。证讫。
至此，欧几里得完成了数学中最重要的证明之一，而他所应用的图形（图2.14）也因此成为了非常著名的图形。人们常常称欧几里得的图形为“风车”，因为它的外形看起来很像风车。从附图中我们可以看到1566年版《原本》所刊载的“风车”图形，图中的文字为拉丁文。显然，400多年前的学生便已开始研究这一图形，犹如我们刚才所做的那样。
当然，欧几里得的证明并不是证明毕达哥拉斯定理的唯一方法。实际上，证明方法有数百种之多，有的非常巧妙，有的极其平庸。（其中包括俄亥俄州众议员詹姆斯·加菲尔德的证明，他后来成为美国总统。）读者如果对其他证明方法感兴趣，可以参考E.S.卢米斯所著《毕达哥拉斯命题》一书，其中收录了对这一著名定理的千百种证明方法，令人眼花缭乱。
虽然命题I.47标志了第一篇的高潮，但欧几里得还有最后一个命题要证明，这就是毕达哥拉斯定理的逆定理。欧几里得对这一逆定理的证明，其巧妙和精练，依然是显而易见的。但遗憾的是，这一证明本该同样著名，却始终湮没不彰。实际上，大多数学生在其一生中，总会在某一时刻见到过对毕达哥拉斯定理的证明，但是见过对其逆定理证明的人就少得多，即使见到，也不敢肯定其正确性。
欧几里得对这一逆定理的证明有两个特点值得我们特别注意。其一是它非常短，将其与我们刚看到的论证相比，则尤其如此。其二是欧几里得在证明这一逆定理时，应用了毕达哥拉斯定理。这种逻辑方法虽然并非没有前例，但至少值得注意。让我们回想一下，欧几里得在证明有关平行线的两个重要命题（命题Ⅰ.27及其逆命题Ⅰ.29）时，并没有用其中一个命题去证明另一个命题。但是，他对毕达哥拉斯逆定理的证明，却将命题Ⅰ.48牢固地建立在命题Ⅰ.47的基础之上，使这两个命题成为一个明确的序列单位。
命题Ⅰ.48 在一个三角形中，如果一边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和，则这两边的夹角是直角。
所示。他必须证明∠BAC是直角。
为此，欧几里得首先根据命题Ⅰ.11，作AE垂直于AC，并交AC于A。
明三角形BAC与DAC全等。
确定的），但根据垂线作图，我们知道∠DAC是直角。因此，欧几里得完全有理由应用毕达哥拉斯定理于直角三角形DAC，并根据假设，推导出
边边”定理，△DAC与△BAC全等。因而，∠BAC与∠DAC也必然全等。而根据作图，后者为直角，所以，∠BAC也是直角。证讫。
命题Ⅰ.47和Ⅰ.48相得益彰，揭示了直角三角形的全部特征。欧几里得表明，一个三角形，如果，也只有当其斜边的平方等于两条侧边的平方和时，这个三角形才是直角三角形。这些证明过去是，现在依然是最佳几何例证。
这两个毕达哥拉斯命题在另一种意义上也是卓越非凡的。欧几里得以一种巧妙的方式证明这两个命题是一回事，而这两个命题是正确的则是另一回事。对于直角三角形与平方和的密切关系，没有直觉的推论。例如，它不像命题Ⅰ.20那样，是一种甚至连驴子都能懂得的不证自明的真理。相反，毕达哥拉斯定理证明了一个非常奇特的事实，其奇特性之所以不被认识，仅仅是因为其结果太著名了。理查德·特鲁多在他的《非欧几里得革命》一书中精彩地描述了毕达哥拉斯定理这种固有的奇特。特鲁多注意到，直角是一种人人都熟悉的日常存在，它不仅存在于人为世界，而且也存在于自然界本身。还有什么能比直角更“普通”或更“自然”的呢？但特鲁多又说：
“毕达哥拉斯定理使我感到非常惊奇……‘a2=b2＋c2’……无论如何引不起我本能的记忆……因为这个方程抽象，精确，异乎寻常。我想象不出这样一种东西与日常生活中所见的直角有什么关系。因此，当偶然揭开‘熟悉’的帘幕，重新审视毕达哥拉斯定理，我不禁感到目瞪口呆。”
后记
纵观历史，《原本》第一篇基础中最令人困惑的是引起争议的平行线公设。困惑的产生并非因为有人怀疑平行线公设的真理性，相反，人们普遍认为这个公设是逻辑的必然。几何毕竟是一种抽象描述世界的方式，是一种“物理的抽象”，而物理现实又确实决定了平行线公设的真理性。
因此，受到质疑的不是欧几里得的陈述，而是他将其列为公设。古代作家普罗克洛斯一言以蔽之，“它（公设5）完全应从公设中剔除，因为它是一条定理……”
对平行线公设的这种认识并不奇怪。首先，可能确实使古代几何学家感到迷惑的是，这一公设看起来的确十分像一条命题，因为它的陈述性语句就占了大半段。加之，欧几里得似乎不仅尽可能避免应用这一条公设，而且在证明一些相当深奥微妙的结论时，也尽可能设法绕过它。“如果说他的其他公设和公理的内容都非常丰富，足以产生诸如命题Ⅰ.16或Ⅰ.27这样的定理或四种全等格式的话，那么，它们当然也应该同样包容平行线公设的含义。”
出于似乎非常充分的理由，数学家们开始寻求公设5的推导根据。他们在寻求这一证明的过程中，可以自由地应用除公设5以外的任何其他公设或公理，以及欧几里得从Ⅰ.1到Ⅰ.28的全部命题。无数数学家都曾为此做出过不懈的努力，但非常遗憾的是，他们几年、几十年，甚至几百年的努力都失败了。这一证明至今依然是一个难解的谜。
几何学家在这一过程中，只发现了许多在逻辑上等同于平行线公设的新的命题。为证明公设5，常常需要数学家们去假设一种看来很明显，但迄今为止尚未得到证明的命题。然而，遗憾的是，为引出这样一个命题，平行线公设本身又是必不可少的，而问题就在这里。对于逻辑学家来说，这表明，两者实际都在表达同一个概念，而对公设5的“证明”，如果要求假设它的逻辑等价命题，自然就什么也没有证明。
比较著名的四个平行线公设等价命题记叙如下。应该指出的是，假如可以根据公设1至4证明下述任何一项，则公设5便是顺理成章的了。
■ 普罗克洛斯公理：如果一条直线与两条平行线中的一条相交，也必定与另一条平行线相交。
■ 等距公设：两条平行线之间距离处处相等。
■普莱费尔公设：经过已知直线外一点，可以作一条，而且只能作一条与已知直线平行的直线。
■ 三角形公设：三角形三个内角和等于两个直角。
尽管文艺复兴时期产生了这四个逻辑等价命题，但却依然未能解决平行线公设的性质问题。无论谁推导出平行线公设证明，都会在数学史上享有永久的声望。有时，这一证明似乎已近在咫尺，唾手可得，但世界最优秀数学家的努力却一次又一次落空。
19世纪初叶，有三个数学家几乎同时爆发灵感，发现了解决这一难题的真正曙光。第一位数学家就是举世无双的卡尔·弗里德里希·高斯（1777—1855年），有关他的生平，我们将在第十章中介绍。高斯立足对三角形角度的测量，重新设计了这个问题。为了证明三角形的内角和必定等于180°，他先假设三角形内角和不等于180°。这样，就使他面临两种选择：三角形内角和或者大于180°，或者小于180°。他进而研究了这两种情况。
高斯依据直线是无限长的事实（欧几里得也同样含蓄地提出过这样的假设，对此，没有人提出异议）发现，如果三角形的内角和大于180°会导致逻辑矛盾。因此，这种情况显然应予排除。如果他能够同样排除另一种情况，他就可以间接地证明平行线公设的必然性。
高斯首先假设三角形的三个内角和小于180°，然后便开始进行推理。但推理的结果非常奇怪，似乎有点儿不可理解和违背直觉（一种瞬间出现的现象）。但是，高斯却怎么也找不到他所寻求的逻辑矛盾。1824年，他总结这种情况说：
“……一个三角形的内角和不能小于180°……这是……一块暗礁，所有的船只都会在它面前撞得粉碎。”
随着高斯对这一特殊几何问题越来越深入的探讨，他逐渐相信这其中不存在逻辑矛盾。相反，他开始感觉到，他所发展的不是一种不相容的几何学，而是一种选择几何学，用他的话说，是一种“非欧几里得”几何学。高斯在他1824年的一封私人信件中详细阐述了他的观点：
“三角形三个内角和小于180°的假设导致了一种非常古怪的几何学，与我们现在的几何学不同，但又完全讲得通，对此，我感到非常满意。”
这是一段激动人心的话。高斯虽然被公认为是当时最优秀的数学家，但却没有公布他的发现。也许是为声名所累，因为他深信，对他见解的争议可能会损害他的崇高名望。1829年，高斯在写给他一位知己的信中说，他没有打算：
“……把我的深入研究公诸于众，也许终生都不会公布，因为我惧怕在我大声讲出我的观点之后，会引起维奥蒂亚人的鼓噪。”
今天的读者可能不明白维奥蒂亚人是何方神圣，对此，我们只需稍加解释，所谓的“维奥蒂亚人”是指那些缺乏想象力而又不开化的愚钝之人。显然，高斯忽略了数学界对他新观点的接受能力。
接下来是匈牙利数学家约翰·鲍耶（1802—1860年）。约翰的父亲沃尔夫冈曾是高斯的密友，而且，他自己也曾为证明欧几里得的平行线公设空付出大半生的心血。当时的年代，儿子常常继承父亲的事业，成为牧师、皮匠或厨师……，而小鲍耶则继承了他父亲推导欧几里得平行线公设的深奥事业。但沃尔夫冈深知个中的难处，对他的儿子提出了强烈的警告：
“你不能再去论证平行线公设。我深知这条路会带来什么结果。我曾力图穿越这无尽的黑夜，并因此葬送了我生活的全部光明与欢乐……我恳求你，不要再去管平行线公设。”
但是，年轻的约翰·鲍耶并未理会父亲的忠告。像高斯一样，约翰也逐渐认识到了有关三角形内角和的关键性的三分法，并试图排除与平行线公设不符的所有情况。当然，同高斯一样，他也没有成功。随着鲍耶对这一问题越来越深入的研究，他同样得出结论，认为欧几里得几何在逻辑上遇到了强有力的对手，他十分惊讶地就他独待而显然论据确凿的命题写道，“从空无中，我创造了一个奇怪的新世界。”
约翰·鲍耶不像高斯，他毫不犹豫地公布了自己的发现，他将自己的论文作为附录载于他父亲1832年的著作之中。老鲍耶兴高采烈地将自己的著作给他的朋友高斯寄去一本，但高斯的回信却使鲍耶父子十分意外：
“如果坦言我不敢夸奖（令郎的）大作，你必然会感到吃惊：但是我别无选择；夸奖令郎就等于夸奖我自己；因为书中全部内容，他的思路，以及他所推导的结果，都与我自己的发现几乎同出一辙，这些发现在我脑子里已经存在了30至35年之久。”
显然，高斯给他年青的崇拜者泼了一瓢冷水。值得称道的是，高斯非常谦和地讲到他自己“……非常高兴，恰恰是老友的儿子以这种非凡的方式超过自己”。但是，约翰得知他最伟大的发现已经躺在高斯的抽屉里几十年了，这对他的自尊心，当然是一个沉重的打击。
然而，约翰的自尊心还要再经受一次打击，因为人们不久便得知，俄国数学家尼古拉·罗巴切夫斯基（1793—1856年）不仅与高斯和鲍耶作了同样的工作，而且，于1829年就发表了他关于非欧几何的论文——比约翰早了整整三年。但罗巴切夫斯基的论文是用俄文写的，显然无声无息地传到了西欧。这种现象在科学界并不奇怪，一个发现有时会有许多人同时独立作出。沃尔夫冈·鲍耶讲得好：
“……的确，许多事物似乎都自有其时令，会在多处同时显现，犹如紫罗兰在春季到处开放。”
但是，这些发现还不能算是切中要害，另一位创新家乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼（1826—1866年）对几何直线的无限长度别有一种见解。正是这种几何直线的无限性才使高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基得以排除三角形内角和大于180°的情况。但是，是否确有必要假设这种无限性呢？欧几里得的公设2称，有限直线可沿直线无限延长，但这难道不是在说，人们永远也达不到直线的尽头吗？黎曼完全可以想象，这些直线有几分像圆，长度是有限的，但却没有“尽头”。他说：
“……我们必须区别无界与无限延长的概念……，空间的无界具有一种比外部感受更强的经验确实性。但无限延长绝不是从这个意义上推导出来的。”
黎曼根据直线无界但长度有限的假设，重新检讨几何学，则三角形内角和大于180°时所产生的逻辑矛盾消失了。结果，他发展了另一种非欧几何，在这种几何中，三角形的内角和大于两个直角。黎曼的几何学虽然与欧几里得和鲍耶的几何不同，但却显然同样严谨。
今天，我们承认所有这四位数学家为非欧几里得几何的创始人。他们理应享受先驱者的同等荣耀。但是，他们的发现也没有完全解决平行线公设的根本问题。因为，虽然他们把几何发展到了新的高度，但是，能够支持他们的新几何学与欧几里得几何并驾齐驱的，仅仅是一种知其然而不知所以然的直觉感受，并非白纸黑字的逻辑推理。尽管高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基和黎曼的发现都有很强的说服力，但在将来的某一刻，仍有可能会出现一位天才数学家，从他们关于三角形内角和小于或大于180°的假设中找出矛盾。
因而，这个古老故事的最后一章由意大利的欧金尼奥·奥尔特拉米（1835—1900年）在1868年写完。他清晰地证明了非欧几何与欧几里得几何同样具有逻辑上的一致性。奥尔特拉米表明，如果说在高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基或者黎曼的几何中，可能存有某种逻辑矛盾的话，那么，在欧几里得几何中也同样存在这种矛盾。既然人人都认为欧几里得几何逻辑严谨一致，因此可以断言，非欧几里得几何也同样无懈可击。换言之，非欧几何在逻辑上并不比先者——欧几里得几何低下。
为了理解高斯／鲍耶／罗巴切夫斯基派非欧几何（即三角形内角和小于180°的那种几何）的某些古怪论点，我们不妨看一看非欧几何对某些命题的证明。首先，让我们从另一个角度看一看三角形全等问题。当然，欧几里得的全等定理是在他初次应用公设5之前确立的，并在非欧几何中依然有效，因为这些全等定理的证明只需应用欧几里得的其他公设和公理，而无需参考其他任何东西。但在鲍耶几何中，令人感到惊奇的发展是，还有另外一种表示全等的途径，即“角角角”。
在欧几里得几何中，我们知道，如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。也就是说，它们形状相同，但无须全等。例如，一个小等边三角形和一个大等边三角形，尽管三个角都完全相等，但却是不全等图形。然而，我们下面将要讲到的非欧定理却表明，在非欧几何这个奇怪的世界里，这种情况却是不可能的。如果鲍耶的两个三角形形状相等，其面积也必定相等！
定理（角角角）如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，则这两个三角形全等。
证明 如图2.16所示，在三角形ABC和DEF中，假设∠1=∠4，∠2=∠5，∠3=∠6。我们断言，边长AB与DE必定相等。为证明这一点，我们先假设这两条边长度不等，以造成最后的逻辑矛盾，为了不失却一般
“角边角”定理，△ABC与△DGH全等，因此，∠DGH＝∠2＝∠5，同理，∠DHG＝∠3＝∠6。
现在，我们来看四边形EFHG。由于DGE和DHF是直线，根据命题Ⅰ.13，我们得知，∠EGH＝（180°－∠DGH）＝（180°－∠5），∠FHG＝（180°－∠DHG）＝（180°－∠6）。因此，四边形EFHG四个角的和等于
（180°－∠5）＋（180°－∠6）＋∠6＋∠5＝360°
现在，我们作四边形EFHG的对角线GF，将四边形分为两个三角形。根据非欧几何的基本性质，这两个三角形，每个三角形的内角和都小于180°；因此，两个三角形所有角的和必定小于360°。而这两个三角形所有角的和恰恰就是四边形EFHG四个角的和。我们刚才已推导出，四边形EFHG的四角和等于360°。
“角边角”定理，即根据命题Ⅰ.26，可以直接推导出原来的两个三角形ABC与DEF全等——而这正是我们所要证明的定理。 证讫。
从这一命题中，可以很容易地得出一个令人吃惊的推论：在非欧几何中，并非所有三角形的内角和都相等！欧几里得几何中这一最基本的性质（突出表现在许多几何推理中），在我们步入非欧几何领域时，却必须予以抛弃。因为假设有两个三角形，如图2.17所示，每个三角形的底角都是α和β，但是，AB边显然小于DE边。因此，我们断言，∠1不能等于∠2。因为如果它们相等，根据我们刚才证明的“角角角”全等定理，则这
我们看，一个三角形的内角和（∠1＋α＋β）不等于另一个三角形的内角和（∠2＋α+β）。总之，在非欧几何中，已知三角形的两个角，还不足以确定第三个角。从这一命题和许多其他类似命题中可以看出，为什么鲍耶说他创造了一个“奇怪的新世界”，以及为什么有那么多人在非欧几何刚刚露出地平线的时候就认为，非欧几何必然要出现逻辑矛盾。但是，正如我们刚才所证明的那样，他们全都错了。
那么，这些19世纪的发现者们究竟要将欧几里得置于何地呢？一方面，欧几里得几何作为对空间的唯一逻辑上一致的描述的地位不复存在。实际上，每个人都会感到非常吃惊的是，非欧几何证明了平行线公设不是逻辑所训示的。欧几里得假设了这一条公设，但在数学上却没有这种必然性。存在对立的几何，而且同样正确。
但另一方面，欧几里得的声誉得到了加强，而不是损毁。因为他没有像许多追随者那样落入陷阱，用其他不证自明的真理去证明平行线公设，我们现在知道，这种证明是注定要失败的。相反，他把他的假设理所应当地列为公设。欧几里得当然不可能知道两千年后会发现另一种几何学。但是，他凭着数学家的直觉，一定知道平行线的这一特性是一种个别的和独立的概念，它需要自己的公设，不论多么罗嗦和复杂。两千二百年后，数学家们证明了欧几里得始终是正确的。