初中生学习辅导（第九十三节）
初中生学习辅导（第九十三节）
第九十三节：建立、发展和完善数学认知结构
数学学习，就是把数学知识结构（指教材）经过积极主动的思维活动，转化为头脑里的数学认知结构。在数学学科的学习中，数学认知结构的建立、发展和完善，处于核心地位。那么，作为家长，该怎样引导上初中的孩子建立、发展和完善数学认知结构呢？
（1）打好基础，建立优良的数学认知结构学习一门数学的新课程，或学习某一课程中与前面知识没有多大联系的新课题时，开始都会碰到一系列新的概念、公理、思想方法，以及一些简单的、基础的定理、公式等，这些内容不可能被原有的认知结构所同化，只能从实例、模型或已有经验中抽象概括，形成新的概念、公理、方法等，从而建立起一个新的数学认知结构。例如，平面几何入门阶段的学习，就处于建立新的数学认知结构的过程中。这个新建立的数学认知结构，就是今后学习的基础，它的优劣直接影响以后学习的好坏，因此显得十分重要。数学家张广厚曾说过：“我在念一本新书时，开头我特别下工夫，由于开头都是基础的东西，基础的东西往往是容易接受却难理解，特别是高等数学是这样……中学学习也是一样，开头简单，自己认为懂了，实际没懂，不下工夫，过两三个月就吃力了。要入门，就要开头下工夫，我觉得开头的基础要搞扎实。”他这番话，道出了入门阶段学习的重要性，反映了开始时建立优良认知结构的必要。事实上，从学生学习平面几何起始阶段的情况，也可说明这一点。新建立的认知结构是后继学习的基础，它具有较高的抽象、概括水平，所以这些内容虽然简单，但学习的要求却很高，应引起特别注意。尤其是采用公理化方法编写的教材，这一点表现得更为明显。
（2）循序渐进，搞好命题学习，促进认知结构的良好发展数学是一门系统性很强的学科，前后内容紧密相连，一环紧扣一环。在学习时，若对某一环学得不扎实，认识模糊不清，就会直接影响认知结构的良好发展。如果不及时解决，那么继续学习下去就只能是机械学习，这时认知结构中出现的都是一些孤立的“点”，不仅容易遗忘，而且失去应用的价值，结果导致学习的失败。在学习每一个定理、公式时，都要清楚地知道怎样一步步得出结论。运用了哪些概念、公理、定理或公式，使用的是什么方法等等。要知其然还要知其所以然，而不能只记住其条件和结论。命题学习过程是一个积极的思维活动过程，从感知定理的情境（信息输入），接着进入思维（信息加工），即与原有认知结构中适当的知识建立联系，相互作用，进行同化，然后把它纳入原有认知结构（储存），并使原认知结构得到发展。在这个思维活动中，既要理解证明过程，更要从中学习到数学的思想方法和解题途径。这对发展认知结构，具有重要意义。例如，在圆周角定理的证明过程中所体现的分类、化归的方法等，就有积极的作用。因此，那种尽量缩短命题学习的时间加快学习进程的做法，是不可取的。
（3）精炼所学知识，不断完善数学认知结构数学认知结构也有一个形成、发展到完善的过程，它处于不断变化之中。并且，认知结构的大小也是相对的，大可以指整个中学阶段数学认知结构，小可以指某章某节的认知结构，也可以指某部分内容的认知结构。因此，每到一个阶段，就要进行提炼，改善原有认知结构，提高抽象、概括水平，以便有助于今后的学习和应用。通常，阶段复习、学期复习就应起这个作用。数学家华罗庚谈到学习有一个“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程。他说：“要真正学会学懂还必须经过‘由厚到薄’的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来……这看起来你得到的东西似乎比以前少了，但实质上经过消化，变成精炼的东西了。”华罗庚在这里特别强调了“由厚到薄”的重要性，反映了改进、完善数学认知结构的重要性。例如，初中学完代数方程后，可以对方程的解法进行整理、提炼，得出基本思想——“转化”、“降次”、“消元”，达到了高度概括、简缩；再由知识“点”、“线”组成知识的“网络”，揭示内在的联系，从而完善了这一部分的认知结构。
如果学习者在学习过程中经常进行这方面的工作，则不仅对数学知识会有更深入的认识，而且还有助于能力的提高与发展。